Tõenäosusteooria tekkimisest Tõenäosusteooria arengus on suurt rolli omanud õnnemängud. Esimene teadaolev tõenäosusi uuriv raamat on Gerolamo Cardano (1501-1576) "Liber de Ludo Aleae" ("Raamat õnnemängudest"), mis... Loe edasi 7236
Tõenäosusteooria põhimõisted Põhimõisted ja seosed nende vahel Lähtemõisteks on tõenäosusteoorias sündmus. Sündmused on näiteks täringuga kuue silma heitmine, eksamil hinde "5" saamine, lotopiletiga võitmine jms.... Loe edasi 7499
Permutatsioonid, kombinatsioonid, variatsioonid Permutatsioonid on n elemendilise hulga elementidest moodustatud n-elemendilised järjestatud osahulgad. Permutatsioonide arv leitakse valemiga Pn = n! Kirjutist n! loetakse - "n faktoriaalis" ja... Loe edasi 9729
Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel Kombinatoorika põhireeglid Liitmise reegel - kui mingi elemendi A saab valida n erineval viisl ja elemendi B saab valida m erineval viisil, siis elemendi "kas A või B" saab valida m + n erineval... Loe edasi 5046
Sündmuse suhteline sagedus. Statistiline tõenäosus Absoluutne ja suhteline sagedus Buku saarel on 28 kirjaoskamatut inimest, kõrvalasuval Muku saarel aga 280 kirjaoskamatut. Mida me nende andmete kohta oskame öelda? Kas võib öelda, et Buku... Loe edasi 5381
Tõenäosuste liitmine ja korrutamine Liitmise reegel Korrutamise reeglid Allikas: Tõenäosuste liitmine ja korrutamine Loe edasi 5115
Täistõenäosuse valem Täistõenäosuse valem Sissejuhatus teemasse näite kaudu Näide täistõenäosuse valemi rakendamise kohta Allikas: Täistõenäosuse valem Loe edasi 5417
Bernoulli valem Bernoulli valem Kui sündmuse A tõenäosus igal katsel on p, siis tõenäosus, et n katse korral sündmus A toimuks k korda leitakse valemiga Pn,k = Cn,k · pk · qn−k, kus q = 1 − p.... Loe edasi 13333
Mida uurib statistika? Üldkogum ja valim. Andmete ettevalmistamine Mõisted Statistika - teadus, mis käsitleb arvandmete kogumist, töötlemist ja analüüsimist. Matemaatiline statistika on matemaatika haru, mis uurib statistiliste andmete põhjal... Loe edasi 3744
Variatsioonirida ja sagedustabel. Variatsioonirida ja sagedustabel. Klassid Ühe kooli gümnaasiumiastmes õppivate noormeeste jalanumbrid on: Selline arvude järjestus on statistiline rida. Kui järjestame saadud tulemused kasvavalt... Loe edasi 9194
Keskväärtus, mediaan ja mood Keskväärtus Tunnuse keskväärtuseks on tunnuste väärtuste aritmeetiline keskmine. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse tunnuste kõikide väärtuste summa ja objektide arvu jagatist, ... Loe edasi 15897
Hajuvusmõõdud Kuidas tekib hajumine? Olümpiamängude meeste 100 meetri jooksu eeljooksudes näidati aegasid alates 10,02 sekundist kuni 10,68 sekundini. Kolm neljandikku osavõtjatest said aja alla 10,40 sekundi... Loe edasi 3895
Juhusliku suuruse jaotus. Diskreetse jaotuse keskväärtus ja standardhälve Juhusliku suuruse jaotus Diskreetse suuruse keskväärtus ja standardhälve Allikas: äärtus_ja_standardhälve. Loe edasi 3978
Binoomjaotus Binoomjaotus Binoomjaotuse keskväärtus ja standardhälve Allikas: Binoomjaotus Loe edasi 5754
Normaaljaotus Normaaljaotuseks (ka Gaussi jaotuseks) nimetatakse matemaatikas pideva juhusliku suuruse X jaotust, mida iseloomustab tihedusfunktsioon kus on keskväärtus, mis iseloomustab jaotuse paiknemist... Loe edasi 7321
Lineaarne korrelatsioon, korrelatsiooniväli Korrelatsioonikordaja Korrelatsioon puudub Tänaval küsiti juhuslike inimeste käest nende suhtumist Mudaparteisse ja samal ajal mõõdeti ka õhutemperatuuri. Tõhusa uurimistöö tulemusena... Loe edasi 3555
Integraal Integreerimine koos oma pöördtehte diferentseerimisega on üks matemaatilise analüüsi baasmõistetest. Määratud integraal reaalmuutuja funktsioonist f(x) lõigul [a,b] on suurus mida võib... Loe edasi 16467
Algfunktsioon Liitmise pöördtehe ehk pöördoperatsioon on lahutamine, korrutamise pöördoperatsioon on jagamine, astendamise pöördoperatsioonid on juurimine või logaritmimine. Funktsioonidele saab... Loe edasi 8759
Määramata integraal Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse funktsiooni integreerimiseks. Integrare (lad. k) - taastama, täiendama. Integreerimine on seega funktsiooni diferentseerimise pöördoperatsioon. Loe:... Loe edasi 10165
Määramata integraali integreerimise põhivalemid Integreerimine on algfunktsioonide üldavaldise ehk määramata integraali leidmine. Järgnevalt on esitatud integreerimisvalemid, mida saab vajadusel välja trükkida Loe edasi 7378
Määramata integraali omadused 1. Konstandiga korrutatud funktsiooni integreerimine: 2. Summa või vahe integreerimine: Viimast valemit võib kasutada ka vastupidi. Näide: Allikas: Integraal/Omadused Omadus... Loe edasi 6340
Põhiintegraalide tabel Erinevate integraalide leidmiseks on abiks integraalide tabelid. Integraalide tabelites tähistavad tähed a, b ja n konstante. Tabeleid kasutatakse koos muutuja vahetuse ja ositi integreerimise... Loe edasi 7757
Asendusvõte Asendusvõtet nimetatakse ka muutujavahetuse võtteks. Sageli lihtsustub integreerimine, kui integreerimismuutuja asendada sobiva funktsiooniga või kui integreeritav avaldis või osa temast asendada... Loe edasi 5873
Ositi integreerimine Teiseks integreerimist lihtsustavaks võtteks on ositi integreerimise võte, mille eesmärgiks on uute muutujate sissetoomisega jõuda lihtsamate integreeritavate avaldisteni. Ositi integreerimise... Loe edasi 7881
Muutujate vahetuse meetod Juhul, kui antud integraal ei ole tabeliintegraal ning lihtsad teisendused ei vii tabeliintegraalile, tuleb integreerimiseks rakendada teisi meetodeid. Muutujate vahetus (ehk asendusvõte) on kõige... Loe edasi 5111
Määratud integraal Kui funktsioon f(x) on integreeruv lõigus [a;b], siis tema kõigi algfunktsioonide muudud, mis vastavad argumendi muudule =b - a, on võrdsed. Seda on kerge mõista geomeetrilise esituse kaudu.... Loe edasi 14342
Pindalade ligikaudne arvutamine Meile tuntud valemid pindala arvutamiseks on rakendatavad ainult teatud kindlatele kujunditele nagu kolmnurk, ristkülik, romb, trapets jne. Tasapinnalise kõverjoonega piiratud kujundi pindala... Loe edasi 3989
Kõvertrapets Täpsema tulemuse pindalast saaksime, kui oskaksime leida ka poolikute ruutude pindalasid. Kõiki pinnatükke saab tükeldada kõvertrapetsiteks. Täisnurkne trapets läheneb oma kujult... Loe edasi 3683
Kõvertrapets.Ristkülikute meetod Kõigepealt vaatame, kuidas leidis kõvertrapetsi pindala Archimedes (287 - 212 eKr). Ta uuris, kui suure osa ühikruudust eraldab parabool y = x2. Selleks jagas ta lõigu [0; b] võrdseteks osadeks.... Loe edasi 2745
Kõvertrapetsi pindala kui funktsioon Paigutame kõvertrapetsi sobivalt koordinaatteljestikku. Valime x-telje nii, et sellel asuks trapetsi alustega ristuv haar. Kõvertrapets on nüüd koordinaatteljestikus määratud, kui teame:... Loe edasi 2935
Kõvertrapetsi pindala arvutamine Definitsioon Kõiki einevate joontega piiratud kõvertrapetsi pindalasid saab leida valemiga: Näited: Leia sirgetega x = 2, x = 4, y = 0 ja y = x piiratud täisnurkse trapetsi pindala.... Loe edasi 15637
Kõvertrapets allpool x-telge Olgu antud pidev funktsioon f(x)<0 lõigus [a;b]. Järelikult Integreerides lõigus [a;b] funktsiooni f(x)<0, saame vastava (allpool x-telge asuva) kõvertrapetsi pindala vastandarvu. Seega... Loe edasi 4276
Mitmest osast koosnev pind Olgu meil vaja leida kõveraga f(x) ja x-teljega piiratud kujundi pindala lõigus [a;b]. Kui kõveral on selles lõigus nullkohti. siis koosneb vaadeldav kujund eraldiseisvatest osadest. Sel juhul... Loe edasi 2821
Pinnatükki piiravad kaks kõverat Olgu meil tarvis leida sellise kujundi pindala, mida piiravad kõverad f(x) ja g(x) ning sirged x = a ja x = b. Kui lõigus [a;b] on f(x) g(x), siis saame otsitava pindala leida kahe kõvertrapetsi... Loe edasi 2831
Ruumala arvutamine Definitsioon Integraali abil on võimalik leida mistahes keha ruumala, selleks on meil tarvis teada keha kõrgust h ja keha ristlõike pindala S(x) lõikekoha x funktsioonina, siis Vaadeldav keha... Loe edasi 3690
Pöördkeha ruumala Kui tegemist on pöördkehaga, siis tema ristlõikeks mistahes kohal on ring, kusjuures ringi raadius r = f(x) ja S(x) = r2 = [f(x)]2. Pöörelgu keha ümber x–telje ja asetsegu keha tasandite x... Loe edasi 5475
Silindri ruumala Tuletame silindri ruumala valemi. Asetsegu silinder tasandite x = 0 ja x = h vahel. Külgpind tekib sirge y = r pöörlemisel ümber x-telje. Seega silindri ruumala saab leida põhja pindala ja... Loe edasi 3984
Sisukord Matemaatika õhtuõpik Autorid: JUHAN ARU, KRISTJAN KORJUS, ELIS SAAR Sissejuhatus Matemaatika meie ümber Miks õppida matemaatikat? Kas matemaatika on raske? Innustuseks Keel ja põhimõisted... Loe edasi 11196
Matemaatika meie ümber Matemaatika meie ümber Kujutage ette, et istute hubases kohvikus ja vaatate linnatänavale. Kohv on ostetud, rehkendused kassa juures tehtud ja tundub, et matemaatika ongi tänaseks läbi. Siis aga... Loe edasi 7803
Miks õppida matemaatikat? Matemaatika arendab mõtlemist Kui tahad saada juristiks, on matemaatika abiks. Kõige selgemalt oma argumente üles ehitama – olgu nad kui pikad tahes – ning kõige kärmemalt teiste... Loe edasi 6918
Kas matemaatika on raske? Paljudele tundub, et matemaatika on raske – isegi ületamatult raske – ja et see raskus on midagi muud kui raskus endale pähe õppida keerulisi kunstnikunimesid, aastaarve, rodude viisi riikide... Loe edasi 7238
Innustuseks Õhtuõpiku väljaandmist toetasid 451 lahket hooandjat. Neist kõige innukamatel palusime ka selgitada, miks nad ikka meid nii lahkelt toetasid. Nii kogusime mõned isiklikud mõtisklused... Loe edasi 4392
Matemaatikute keel ja žanrid Matemaatikute keel ja žanrid Avades mõne matemaatikuõpiku, on esmane vaatepilt üsna segane: vähe sõnu, palju sümboleid, jooni ja skeeme ning mis kõige hullem, nad kõik on omavahel puseriti.... Loe edasi 5943
Muutuja Kuidas teile meeldiks, kui teil oleks rahatäht, millele kirjutatud väärtust saate kogu aeg muuta? Meeldiks? Siis meeldib teile ka muutuja mõiste ongi lihtsalt üks matemaatiline objekt, mille... Loe edasi 8619
Võrdus ja võrdsus Võrdsus on igapäevane mõiste. Räägitakse võrdsetest valikutest, võrdsetest võimalustest, võrdsetest vahetustest. Seega ei ole üllatav, et võrdsus kuulub ka matemaatiliste põhimõistete... Loe edasi 5881
Hulk Nagu igapäevakeeleski, tähendab ka matemaatikute jaoks hulk mingite objektide kogumit. Näiteks moodustavad hulga kõik kartulid kastrulis, kõik õpilased klassis või kõik kassid vanaema... Loe edasi 7321
Funktsioon Mida teha, kui on kakskümmend seitse sõpra ja kõigi nende sünnipäev on tarvis meeles pidada? Ei olegi eriti midagi vaja teha – tuleb lihtsalt lahti võtta arvuti või mõne suhtlusvõrgustiku... Loe edasi 17239
Arvhulgad Naturaalarvud Naturaalarvud on arvud, millega loendame õhtul lambaid: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Neid kõiki korraga ehk nende hulka tähistatakse N-iga. Naturaalarvud on ilmselt kõige loomulikumad... Loe edasi 21138
Kuulsad arvud: pii ja e Mõnel arvul on matemaatikas päris omamoodi roll. Esimese näitena tulevad pähe näiteks arvud null ja üks. Null torkab silma, sest käitub korrutamisel ja liitmisel teistest erinevalt: korrutades... Loe edasi 6832
Arvu aste Arvu astmele on hea hiilides läheneda läbi analoogia korrutamisega. Mida tähendab korrutamine? Kirjutame välja kaks näidet: 3 · 3 = 3 + 3 + 3 5 · 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 Seega vähemalt... Loe edasi 41278
Arvu absoluutväärtus Joonistame arvtelje, lööme sinna naelaga keskele nulli, võtame nöörijupi ning tähistame kaks arvu a ja –a. Need arvud on nullpunktist samal kaugusel. Seda kaugust nullpunktist nimetatakse... Loe edasi 15525
Jada Arvujada mõistet võib selgitada pikkade sõnadega, aga alustame parem näidetega. paarisarvude jada ehk aritmeetiline jada vahega kaks suvaline lõplik üheksaliikmeline täisarvude jada lõpmatu... Loe edasi 32195
Vektor Kui eelmise peatüki lõpetasime väikese mõistatusega, siis seekord alustame väikese mõistatusega: mis on pildil? Tahtsite vastata nooled? Ei, matemaatiku, füüsiku ning hoolsa... Loe edasi 62456
Võrrand Võrrand aitab täpselt ja matemaatiliselt kirja panna teatavaid tingimusi. See on looduse ja ümbritseva kirjeldamise esimene etapp – maailma matemaatilistesse seostesse surumine. Oletame... Loe edasi 12053
Maatriks* Nägime, et kui ühe arvu asemel seada ritta mitu arvu, saame vektori. Aga miks peaks meil ainult üks rida arve olema? Meil võiks ju olla terve arvutabel!Tõepoolest, ka arvutabelid osutuvad... Loe edasi 8591
Võrrandi teisendamine ja lahendamine Enamasti on võrrandi kirjapanek alles esimene samm. Järgneb võrrandi lahendamine: see tähendab, et tahame leida kõik arvud, mis kõiki võrrandiga ette kirjutatud tingimusi õrrandi lahendamise... Loe edasi 27072
Võrrand ja geomeetria Mõni muutujarägastikuga võrrand võib alguses üsna eemaletõukav tunduda. Kuid ühte ilusti tõmmatud kõverat, mis väljendab sedasama võrrandit, on alati kaunis vaadata. Õnneks tuli... Loe edasi 9009
Võrratus Nagu nägime, võimaldab võrrand [lk 168] üsna täpselt ja arvuliselt tingimusi ja seoseid kirja panna. Mõnikord ei ole aga tingimused nii põhjalikud, et neid saaks võrrandiga kirja panna, ning... Loe edasi 19726
Absoluutväärtusega võrrand Meie eesmärk siin raamatus ei ole alati õpetada – õpetada oskavad palju paremini õpetajad ise – vaid pigem anda ideid, kuidas koolimatemaatikast mõelda. Seega üritame ka siin pisikeses... Loe edasi 10635
Proportsioonid ja kolmnurgad Siin peatükis läheneme trigonomeetriale eelajaloolisest vaatevinklist, vaadeldes trigonomeetriat kitsamalt kui õpetust seostest kolmnurkades ning laiemalt kui õpetust suhetest ja motivatsiooniks... Loe edasi 32638
Trigonomeetria ja perioodilised funktsioonid Eelmises peatükis jõudsime trigonomeetriliste funktsioonideni, uurides küljepikkuste suhteid täisnurkses kolmnurgas. Saadud funktsioone kasutasime edasi seoste leidmiseks suvalise kolmnurga... Loe edasi 8588
Trigonomeetrilised avaldised ja nende teisendamine Üks koolimatemaatikas enim tuska põhjustavaid teemasid on ilmselt trigonomeetriliste valemite teisendamine ja lihtsustamine. Antakse ette mingi järjestus sümboleid ja kästakse sellest teha... Loe edasi 29361
Kõik võngub* Harva on asjad tasakaalus, ikka kipuvad nad minema veidi paremaks ja siis jälle veidi halvemaks ja nii edasi. Füüsikud kirjeldavad sellist korduvat tasakaaluasendi ümber toimuvat pendeldamist... Loe edasi 5121
Polünoom Polünoom on üks keeruline võõrsõna, aga sellel ei maksa end heidutada lasta – hullemategi sõnade taga peitub vahel täiesti toredaid selle: näiteks trubaduur või seismoloog. Polünoomide... Loe edasi 7639
Eksponentsiaalfunktsioon Kui mõni pahaloomuline bakter on organismi jõudnud, ei pruugi sellest algul aimugi saada, sest iga bakteripere ei hakka kohe tramburaid korraldama, vaid ootab vahel veel päris mitmeid tunde. Miks... Loe edasi 6921
Logaritm Logaritm on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon [lk 69] ehk teisisõnu, kui järjest rakendada arvule 1000 kõigepealt eksponentsiaalfunktsiooni mingil alusel ning siis logaritmfunktsiooni... Loe edasi 26838
Piirväärtus ja pidevus Piirväärtustest räägitakse kooliprogrammis eelkõige jadade ja funktsioonide puhul. Näiteks jada liikmed muutuvad järjest väiksemaks ja lähenevad hoogsalt nullile. Tõepoolest: Sellisel juhul... Loe edasi 15046
Tuletis Rahvaarv on riigi seisukohalt tähtis näitaja – ta mõõdab mõne rahva suurust ja vägevust, meie puhul küll vist pigem väiksust ja haavatavust. Siin on viimase poole sajandi Eesti rahvaarvu... Loe edasi 21960
Integraal Pärast pikka talve on käes kevad, viskad suusad nurka ja asud rattaga ärkavat loodust avastama. Sõidad hoogsalt kodust eemale, kuid sooviksid siiski teada, kui kaugele oled jõudnud – jõudu... Loe edasi 7322
Integraal ja tuletis Pöördoperatsioonid on matemaatikas üsna levinud. Kõige lihtsam näide tulebki võibolla pööretest endast: kui pöörame oma joonist tasandil 90 kraadi päripäeva, siis teda seejärel 90 kraadi... Loe edasi 7292
Ümbermõõt, pindala ja ruumala Alustame väikese mõtisklusega teemal, mida üldse tähendab mõõtmine. Mida me täpselt teeme, kui igapäevaelus asju mõõdame? Üks võimalus on mõõtmisest mõelda kui teatavast võrdlusest... Loe edasi 63665
Permutatsioonid ja faktoriaal Permutatsioon Permutatsioon on lihtsalt mingite fikseeritud objektide kindel ülesrivistus. Näiteks on jalgpallimeeskonna täpne reastus hümni laulmise aegu üks võimalik põhikoosseisu... Loe edasi 7411
Kombinatsioonid ja variatsioonid Kui permutatsioonid olid seotud teatud objektide järjekorraga, siis kombinatsioonid ja variatsioonid on seotud objektide valikuga. Üks kombinatsioon on näiteks kodupeenralt südamekaaslasele... Loe edasi 20290
Tõenäosusteooria tähendus ja kasutamine Tõenäosus tundub lihtne ja intuitiivne mõiste. Ühe kindla sündmuse tõenäosus võiks tähendada täpselt seda, kui tihti see konkreetne sündmus juhtub võrreldes teiste, temaga konkureerivate... Loe edasi 7580
Tõenäosus ja intuitsioon Eelmises peatükis nägime, et tõenäosusteooriast mõtlemine ning tõenäosuslike kirjelduste ja vahendite kasutamine praktikas ei olegi alati nii lihtne, kui ainult täringute ja müntide baasil... Loe edasi 4832
