Sisukord Matemaatika õhtuõpik Autorid: JUHAN ARU, KRISTJAN KORJUS, ELIS SAAR Sissejuhatus Matemaatika meie ümber Miks õppida matemaatikat? Kas matemaatika on raske? Innustuseks Keel ja põhimõisted... Loe edasi 12730
Matemaatika meie ümber Matemaatika meie ümber Kujutage ette, et istute hubases kohvikus ja vaatate linnatänavale. Kohv on ostetud, rehkendused kassa juures tehtud ja tundub, et matemaatika ongi tänaseks läbi. Siis aga... Loe edasi 8915
Miks õppida matemaatikat? Matemaatika arendab mõtlemist Kui tahad saada juristiks, on matemaatika abiks. Kõige selgemalt oma argumente üles ehitama – olgu nad kui pikad tahes – ning kõige kärmemalt teiste... Loe edasi 8133
Kas matemaatika on raske? Paljudele tundub, et matemaatika on raske – isegi ületamatult raske – ja et see raskus on midagi muud kui raskus endale pähe õppida keerulisi kunstnikunimesid, aastaarve, rodude viisi riikide... Loe edasi 8234
Innustuseks Õhtuõpiku väljaandmist toetasid 451 lahket hooandjat. Neist kõige innukamatel palusime ka selgitada, miks nad ikka meid nii lahkelt toetasid. Nii kogusime mõned isiklikud mõtisklused... Loe edasi 5184
Matemaatikute keel ja žanrid Matemaatikute keel ja žanrid Avades mõne matemaatikuõpiku, on esmane vaatepilt üsna segane: vähe sõnu, palju sümboleid, jooni ja skeeme ning mis kõige hullem, nad kõik on omavahel puseriti.... Loe edasi 6671
Muutuja Kuidas teile meeldiks, kui teil oleks rahatäht, millele kirjutatud väärtust saate kogu aeg muuta? Meeldiks? Siis meeldib teile ka muutuja mõiste ongi lihtsalt üks matemaatiline objekt, mille... Loe edasi 10296
Võrdus ja võrdsus Võrdsus on igapäevane mõiste. Räägitakse võrdsetest valikutest, võrdsetest võimalustest, võrdsetest vahetustest. Seega ei ole üllatav, et võrdsus kuulub ka matemaatiliste põhimõistete... Loe edasi 6923
Hulk Nagu igapäevakeeleski, tähendab ka matemaatikute jaoks hulk mingite objektide kogumit. Näiteks moodustavad hulga kõik kartulid kastrulis, kõik õpilased klassis või kõik kassid vanaema... Loe edasi 8896
Funktsioon Mida teha, kui on kakskümmend seitse sõpra ja kõigi nende sünnipäev on tarvis meeles pidada? Ei olegi eriti midagi vaja teha – tuleb lihtsalt lahti võtta arvuti või mõne suhtlusvõrgustiku... Loe edasi 20753
Arvhulgad Naturaalarvud Naturaalarvud on arvud, millega loendame õhtul lambaid: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Neid kõiki korraga ehk nende hulka tähistatakse N-iga. Naturaalarvud on ilmselt kõige loomulikumad... Loe edasi 24601
Kuulsad arvud: pii ja e Mõnel arvul on matemaatikas päris omamoodi roll. Esimese näitena tulevad pähe näiteks arvud null ja üks. Null torkab silma, sest käitub korrutamisel ja liitmisel teistest erinevalt: korrutades... Loe edasi 7949
Arvu aste Arvu astmele on hea hiilides läheneda läbi analoogia korrutamisega. Mida tähendab korrutamine? Kirjutame välja kaks näidet: 3 · 3 = 3 + 3 + 3 5 · 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 Seega vähemalt... Loe edasi 47523
Arvu absoluutväärtus Joonistame arvtelje, lööme sinna naelaga keskele nulli, võtame nöörijupi ning tähistame kaks arvu a ja –a. Need arvud on nullpunktist samal kaugusel. Seda kaugust nullpunktist nimetatakse... Loe edasi 18300
Jada Arvujada mõistet võib selgitada pikkade sõnadega, aga alustame parem näidetega. paarisarvude jada ehk aritmeetiline jada vahega kaks suvaline lõplik üheksaliikmeline täisarvude jada lõpmatu... Loe edasi 35944
Vektor Kui eelmise peatüki lõpetasime väikese mõistatusega, siis seekord alustame väikese mõistatusega: mis on pildil? Tahtsite vastata nooled? Ei, matemaatiku, füüsiku ning hoolsa... Loe edasi 74760
Võrrand Võrrand aitab täpselt ja matemaatiliselt kirja panna teatavaid tingimusi. See on looduse ja ümbritseva kirjeldamise esimene etapp – maailma matemaatilistesse seostesse surumine. Oletame... Loe edasi 14077
Maatriks* Nägime, et kui ühe arvu asemel seada ritta mitu arvu, saame vektori. Aga miks peaks meil ainult üks rida arve olema? Meil võiks ju olla terve arvutabel!Tõepoolest, ka arvutabelid osutuvad... Loe edasi 10013
Võrrandi teisendamine ja lahendamine Enamasti on võrrandi kirjapanek alles esimene samm. Järgneb võrrandi lahendamine: see tähendab, et tahame leida kõik arvud, mis kõiki võrrandiga ette kirjutatud tingimusi õrrandi lahendamise... Loe edasi 31765
Võrrand ja geomeetria Mõni muutujarägastikuga võrrand võib alguses üsna eemaletõukav tunduda. Kuid ühte ilusti tõmmatud kõverat, mis väljendab sedasama võrrandit, on alati kaunis vaadata. Õnneks tuli... Loe edasi 10394
Võrratus Nagu nägime, võimaldab võrrand [lk 168] üsna täpselt ja arvuliselt tingimusi ja seoseid kirja panna. Mõnikord ei ole aga tingimused nii põhjalikud, et neid saaks võrrandiga kirja panna, ning... Loe edasi 23988
Absoluutväärtusega võrrand Meie eesmärk siin raamatus ei ole alati õpetada – õpetada oskavad palju paremini õpetajad ise – vaid pigem anda ideid, kuidas koolimatemaatikast mõelda. Seega üritame ka siin pisikeses... Loe edasi 12718
Proportsioonid ja kolmnurgad Siin peatükis läheneme trigonomeetriale eelajaloolisest vaatevinklist, vaadeldes trigonomeetriat kitsamalt kui õpetust seostest kolmnurkades ning laiemalt kui õpetust suhetest ja motivatsiooniks... Loe edasi 39326
Trigonomeetria ja perioodilised funktsioonid Eelmises peatükis jõudsime trigonomeetriliste funktsioonideni, uurides küljepikkuste suhteid täisnurkses kolmnurgas. Saadud funktsioone kasutasime edasi seoste leidmiseks suvalise kolmnurga... Loe edasi 9918
Trigonomeetrilised avaldised ja nende teisendamine Üks koolimatemaatikas enim tuska põhjustavaid teemasid on ilmselt trigonomeetriliste valemite teisendamine ja lihtsustamine. Antakse ette mingi järjestus sümboleid ja kästakse sellest teha... Loe edasi 34964
Kõik võngub* Harva on asjad tasakaalus, ikka kipuvad nad minema veidi paremaks ja siis jälle veidi halvemaks ja nii edasi. Füüsikud kirjeldavad sellist korduvat tasakaaluasendi ümber toimuvat pendeldamist... Loe edasi 5708
Polünoom Polünoom on üks keeruline võõrsõna, aga sellel ei maksa end heidutada lasta – hullemategi sõnade taga peitub vahel täiesti toredaid selle: näiteks trubaduur või seismoloog. Polünoomide... Loe edasi 8983
Eksponentsiaalfunktsioon Kui mõni pahaloomuline bakter on organismi jõudnud, ei pruugi sellest algul aimugi saada, sest iga bakteripere ei hakka kohe tramburaid korraldama, vaid ootab vahel veel päris mitmeid tunde. Miks... Loe edasi 8252
Logaritm Logaritm on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon [lk 69] ehk teisisõnu, kui järjest rakendada arvule 1000 kõigepealt eksponentsiaalfunktsiooni mingil alusel ning siis logaritmfunktsiooni... Loe edasi 31103
Piirväärtus ja pidevus Piirväärtustest räägitakse kooliprogrammis eelkõige jadade ja funktsioonide puhul. Näiteks jada liikmed muutuvad järjest väiksemaks ja lähenevad hoogsalt nullile. Tõepoolest: Sellisel juhul... Loe edasi 17398
Tuletis Rahvaarv on riigi seisukohalt tähtis näitaja – ta mõõdab mõne rahva suurust ja vägevust, meie puhul küll vist pigem väiksust ja haavatavust. Siin on viimase poole sajandi Eesti rahvaarvu... Loe edasi 26345
Integraal Pärast pikka talve on käes kevad, viskad suusad nurka ja asud rattaga ärkavat loodust avastama. Sõidad hoogsalt kodust eemale, kuid sooviksid siiski teada, kui kaugele oled jõudnud – jõudu... Loe edasi 8548
Integraal ja tuletis Pöördoperatsioonid on matemaatikas üsna levinud. Kõige lihtsam näide tulebki võibolla pööretest endast: kui pöörame oma joonist tasandil 90 kraadi päripäeva, siis teda seejärel 90 kraadi... Loe edasi 8798
Ümbermõõt, pindala ja ruumala Alustame väikese mõtisklusega teemal, mida üldse tähendab mõõtmine. Mida me täpselt teeme, kui igapäevaelus asju mõõdame? Üks võimalus on mõõtmisest mõelda kui teatavast võrdlusest... Loe edasi 71269
Permutatsioonid ja faktoriaal Permutatsioon Permutatsioon on lihtsalt mingite fikseeritud objektide kindel ülesrivistus. Näiteks on jalgpallimeeskonna täpne reastus hümni laulmise aegu üks võimalik põhikoosseisu... Loe edasi 8495
Kombinatsioonid ja variatsioonid Kui permutatsioonid olid seotud teatud objektide järjekorraga, siis kombinatsioonid ja variatsioonid on seotud objektide valikuga. Üks kombinatsioon on näiteks kodupeenralt südamekaaslasele... Loe edasi 24162
Tõenäosusteooria tähendus ja kasutamine Tõenäosus tundub lihtne ja intuitiivne mõiste. Ühe kindla sündmuse tõenäosus võiks tähendada täpselt seda, kui tihti see konkreetne sündmus juhtub võrreldes teiste, temaga konkureerivate... Loe edasi 9445
Tõenäosus ja intuitsioon Eelmises peatükis nägime, et tõenäosusteooriast mõtlemine ning tõenäosuslike kirjelduste ja vahendite kasutamine praktikas ei olegi alati nii lihtne, kui ainult täringute ja müntide baasil... Loe edasi 5578
Lineaarvõrrand Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax+b=0, kus x on tundmatu ja a ≠ 0 lineaarliikme kordaja ja b on vabaliige. Sellel võrrandil on üks lahend • Lineaarvõrrandil lahendid puuduvad,... Loe edasi 2432
Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Kui kaks lineaarvõrrandit (kahe tundmatuga) moodustavad võrrandite paari, siis otsime nende võrrandite ühist lahendit. Selleks lahendatakse võrrandisüsteem, mille kuju on: Siin x ja y on... Loe edasi 3746
Avaldiste lihtsustamine Avaldiste lihtsustamine tähendab avaldise võimalikult lihtsale kujule viimine, kasutades abivalemeid, tehteid hulkliikmete ja üksliikmetega, sulgude avamist, koondamist jm teisendusi. Arvutamise... Loe edasi 10409
Tehted hulkliikmete ja üksliikmetega Avaldiste teisendamisel kehtivad ka valemid: Algebralise avaldise, üks- ja hulkliikme mõiste: Algebraline avaldis on avaldis, mille väärtuse leidmiseks kasutatakse lõplik arv kordi vaid nelja... Loe edasi 3205
Hulkliikme tegurdamine Hulkliikme tegurdamine tähendab hulkliikme ehk summa esitamist korrutisena. Ühise liikme sulgude ette toomine Ühiseks teguriks võetakse üks liige, millega jaguvad kõik avaldise liikmed ja mis... Loe edasi 5768
Trapets Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks mitteparalleelsed. Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks ja mitteparalleelsed küljed on trapetsi haarad.... Loe edasi 8174
Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa ja kolmnurga välisnurk, kolmnurga mediaanid, kolmnurga ümber- ja siseringjoon Kolmnurk Kolmnurk on kõige lihtsam hulknurk. Sellel on kolm tippu ja kolm külge.... Loe edasi 3922
Korrapärane hulknurk Kolmnurki, nelinurki, viisnurki jne. nimetatakse ühise nimetusega hulknurkadeks. Vaata allolevat joonist. Hulknurk on piiratud murdjoonega. Selle murdjoone lülisid nimetatakse hulknurga külgedeks.... Loe edasi 2060
Ring ja ringjoon Ringjoone kõik punktid asetsevad ühel ja samal tasandil ning nad on ringjoone keskpunktist võrdsel kaugusel. Ringjoone raadiuse saame ühendades ringjoone keskpunkt ja ringjoone mingi punkt... Loe edasi 4184
Thalese teoreem Ringi kahe raadiuse vahelist ala nimetatakse ka kesknurgaks. Kaare AB kohta öeldakse, et kesknurk toetub sellele kaarele. Täispööre on 360º. Kesknurk, mille suurus on 1°, toetub kaarele, mis... Loe edasi 1730
Mediaanide lõikepunkt Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et... Loe edasi 1692
Kolmnurga ümberringjoon ja siseringjoon Ringjoont, mis läbib kolmnurga kõiki tippe, nimetatakse kolmnurga ümberringjooneks. Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt on kolmnurga kõikide külgede keskristsirgete lõikepunkt. Ringjoont, mis... Loe edasi 2587
Sarnased kolmnurgad Hulknurkade sarnasus: kaht hulknurka nimetatakse teineteisega sarnasteks, kui nende hulknurkade vastavad nurgad on võrdsed ja küljed on võrdelised. Sarnaste hulknurkade vastavate külgede jagatist... Loe edasi 2173
Ruutude vahe valem. Tegurdamine Ruutude vahe valem Korrutame üksliikmete summa samade üksliikmete vahega. Valem: Saime ruutude vahe valemi. Valem: Näide: Üksliikmete summa ja samade üksliikmete vahe korrutis võrdub... Loe edasi 4140
Kuupide summa ja kuupide vahe Kuupide summa Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide summaga. Valem: Näide: Kuupide vahe Kui korrutame üksliikmete a ja... Loe edasi 4102
Kaksliikme ruut Kasliikme ruut Kaksliikme ruudu saame, kui korrutame kaksliikme iseendaga. Seejuures saame kasutada kasliikmete korrutamis reeglit. Summa ruut: Üksliikmede summa ruut = esimese liikme ruut +... Loe edasi 6561
