Absoluutväärtusega võrrand

Meie eesmärk siin raamatus ei ole alati õpetada – õpetada oskavad palju paremini õpetajad ise – vaid pigem anda ideid, kuidas koolimatemaatikast mõelda. Seega üritam...

Algfunktsioon

  Liitmise pöördtehe ehk pöördoperatsioon on lahutamine, korrutamise pöördoperatsioon on jagamine, astendamise pöördoperatsioonid on juurimine või logaritmimine...

Arvhulgad

Naturaalarvud Naturaalarvud on arvud, millega loendame õhtul lambaid: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Neid kõiki korraga ehk nende hulka tähistatakse N-iga. Naturaalarvud on i...

Arvu absoluutväärtus

Joonistame arvtelje, lööme sinna naelaga keskele nulli, võtame nöörijupi ning tähistame kaks arvu a ja –a. Need arvud on nullpunktist samal kaugusel. Seda kaugust nu...

Arvu aste

Arvu astmele on hea hiilides läheneda läbi analoogia korrutamisega. Mida tähendab korrutamine? Kirjutame välja kaks näidet: 3 · 3 = 3 + 3 + 3 5 · 6 = 5 + 5 + 5 + 5 +...

Asendusvõte

Asendusvõtet nimetatakse ka muutujavahetuse võtteks. Sageli lihtsustub integreerimine, kui integreerimismuutuja asendada sobiva funktsiooniga või kui integreeritav a...

Bernoulli valem

Bernoulli valem Kui sündmuse A tõenäosus igal katsel on p, siis tõenäosus, et n katse korral sündmus A toimuks k korda leitakse valemiga Pn,k = Cn,k · pk · qn−k, kus...

Binoomjaotus

Binoomjaotus     Binoomjaotuse keskväärtus ja standardhälve     Allikas: Binoomjaotus  

Eksponentsiaalfunktsioon

Kui mõni pahaloomuline bakter on organismi jõudnud, ei pruugi sellest algul aimugi saada, sest iga bakteripere ei hakka kohe tramburaid korraldama, vaid ootab vahel ...

Funktsioon

Mida teha, kui on kakskümmend seitse sõpra ja kõigi nende sünnipäev on tarvis meeles pidada? Ei olegi eriti midagi vaja teha – tuleb lihtsalt lahti võtta arvuti või ...

Hajuvusmõõdud

Kuidas tekib hajumine? Olümpiamängude meeste 100 meetri jooksu eeljooksudes näidati aegasid alates 10,02 sekundist kuni 10,68 sekundini. Kolm neljandikku osavõtjates...

Hulk

Nagu igapäevakeeleski, tähendab ka matemaatikute jaoks hulk mingite objektide kogumit. Näiteks moodustavad hulga kõik kartulid kastrulis, kõik õpilased klassis või k...

Innustuseks

Õhtuõpiku väljaandmist toetasid 451 lahket hooandjat. Neist kõige innukamatel palusime ka selgitada, miks nad ikka meid nii lahkelt toetasid. Nii kogusime mõned isik...

Integraal

Integreerimine koos oma pöördtehte diferentseerimisega on üks matemaatilise analüüsi baasmõistetest. Määratud integraal reaalmuutuja funktsioonist f(x) lõigul [a,b] ...

Integraal

Pärast pikka talve on käes kevad, viskad suusad nurka ja asud rattaga ärkavat loodust avastama. Sõidad hoogsalt kodust eemale, kuid sooviksid siiski teada, kui kauge...

Integraal ja tuletis

Pöördoperatsioonid on matemaatikas üsna levinud. Kõige lihtsam näide tulebki võibolla pööretest endast: kui pöörame oma joonist tasandil 90 kraadi päripäeva, siis te...

Jada

Arvujada mõistet võib selgitada pikkade sõnadega, aga alustame parem näidetega. paarisarvude jada ehk aritmeetiline jada vahega kaks suvaline lõplik üheksaliikmeline...

Juhusliku suuruse jaotus. Diskreetse jaotuse keskväärtus ja standardhälve

Juhusliku suuruse jaotus     Diskreetse suuruse keskväärtus ja standardhälve   Allikas: Juhusliku_suuruse_jaotus._Diskreetse_jaotuse_keskväärtus_ja_st...

Kas matemaatika on raske?

Paljudele tundub, et matemaatika on raske – isegi ületamatult raske – ja et see raskus on midagi muud kui raskus endale pähe õppida keerulisi kunstnikunimesid, aasta...

Keskväärtus, mediaan ja mood

Keskväärtus Tunnuse keskväärtuseks on tunnuste väärtuste aritmeetiline keskmine. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse tunnuste kõikide väärtuste summa ja objektide...

Kõik võngub*

Harva on asjad tasakaalus, ikka kipuvad nad minema veidi paremaks ja siis jälle veidi halvemaks ja nii edasi. Füüsikud kirjeldavad sellist korduvat tasakaaluasendi ü...

Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel

Kombinatoorika põhireeglid Liitmise reegel - kui mingi elemendi A saab valida n erineval viisl ja elemendi B saab valida m erineval viisil, siis elemendi "kas A või ...

Kombinatsioonid ja variatsioonid

Kui permutatsioonid olid seotud teatud objektide järjekorraga, siis kombinatsioonid ja variatsioonid on seotud objektide valikuga. Üks kombinatsioon on näiteks kodup...

Kõvertrapets

Täpsema tulemuse pindalast saaksime, kui oskaksime leida ka poolikute ruutude pindalasid. Kõiki pinnatükke saab tükeldada kõvertrapetsiteks. Täisnurkne trapets lähen...

Kõvertrapets allpool x-telge

Olgu antud pidev funktsioon f(x)<0 lõigus [a;b]. Järelikult Integreerides lõigus [a;b] funktsiooni f(x)<0, saame vastava (allpool x-telge asuva) kõvertrapetsi ...

Kõvertrapets.Ristkülikute meetod

Kõigepealt vaatame, kuidas leidis kõvertrapetsi pindala Archimedes (287 - 212 eKr). Ta uuris, kui suure osa ühikruudust eraldab parabool y = x2. Selleks jagas ta lõi...

Kõvertrapetsi pindala arvutamine

Definitsioon   Kõiki einevate joontega piiratud kõvertrapetsi pindalasid saab leida valemiga:   Näited: Leia sirgetega x = 2, x = 4, y = 0 ja y = x piiratu...

Kõvertrapetsi pindala kui funktsioon

Paigutame kõvertrapetsi sobivalt koordinaatteljestikku. Valime x-telje nii, et sellel asuks trapetsi alustega ristuv haar. Kõvertrapets on nüüd koordinaatteljestikus...

Kuulsad arvud: pii ja e

Mõnel arvul on matemaatikas päris omamoodi roll. Esimese näitena tulevad pähe näiteks arvud null ja üks. Null torkab silma, sest käitub korrutamisel ja liitmisel tei...

Lineaarne korrelatsioon, korrelatsiooniväli

Korrelatsioonikordaja   Korrelatsioon puudub Tänaval küsiti juhuslike inimeste käest nende suhtumist Mudaparteisse ja samal ajal mõõdeti ka õhutemperatuuri. Tõh...

Logaritm

Logaritm on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon [lk 69] ehk teisisõnu, kui järjest rakendada arvule 1000 kõigepealt eksponentsiaalfunktsiooni mingil alusel nin...

Määramata integraal

Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse funktsiooni integreerimiseks. Integrare (lad. k) - taastama, täiendama. Integreerimine on seega funktsiooni diferents...

Määramata integraali integreerimise põhivalemid

Integreerimine on algfunktsioonide üldavaldise ehk määramata integraali leidmine. Järgnevalt on esitatud integreerimisvalemid, mida saab vajadusel välja trükkida &nb...

Määramata integraali omadused

1. Konstandiga korrutatud funktsiooni integreerimine:   2. Summa või vahe integreerimine: Viimast valemit võib kasutada ka vastupidi.   Näide: Allikas: Int...

Määratud integraal

Kui funktsioon f(x) on integreeruv lõigus [a;b], siis tema kõigi algfunktsioonide muudud, mis vastavad argumendi muudule  =b - a, on võrdsed. Seda on kerge mõista ge...

Maatriks*

Nägime, et kui ühe arvu asemel seada ritta mitu arvu, saame vektori. Aga miks peaks meil ainult üks rida arve olema? Meil võiks ju olla terve arvutabel!Tõepoolest, k...

Matemaatika meie ümber

Matemaatika meie ümber Kujutage ette, et istute hubases kohvikus ja vaatate linnatänavale. Kohv on ostetud, rehkendused kassa juures tehtud ja tundub, et matemaatika...

Matemaatikute keel ja žanrid

Matemaatikute keel ja žanrid Avades mõne matemaatikuõpiku, on esmane vaatepilt üsna segane: vähe sõnu, palju sümboleid, jooni ja skeeme ning mis kõige hullem, nad kõ...

Mida uurib statistika? Üldkogum ja valim. Andmete ettevalmistamine

Mõisted   Statistika - teadus, mis käsitleb arvandmete kogumist, töötlemist ja analüüsimist. Matemaatiline statistika on matemaatika haru, mis uurib statistilis...

Miks õppida matemaatikat?

Matemaatika arendab mõtlemist Kui tahad saada juristiks, on matemaatika abiks. Kõige selgemalt oma argumente üles ehitama – olgu nad kui pikad tahes – ning kõige kär...

Mitmest osast koosnev pind

Olgu meil vaja leida kõveraga f(x) ja x-teljega piiratud kujundi pindala lõigus [a;b]. Kui kõveral on selles lõigus nullkohti. siis koosneb vaadeldav kujund eraldise...

Muutuja

Kuidas teile meeldiks, kui teil oleks rahatäht, millele kirjutatud väärtust saate kogu aeg muuta? Meeldiks? Siis meeldib teile ka muutuja mõiste matemaatikas.Muutuja...

Muutujate vahetuse meetod

Juhul, kui antud integraal ei ole tabeliintegraal ning lihtsad teisendused ei vii tabeliintegraalile, tuleb integreerimiseks rakendada teisi meetodeid. Muutujate vah...

Normaaljaotus

Normaaljaotuseks (ka Gaussi jaotuseks) nimetatakse matemaatikas pideva juhusliku suuruse X jaotust, mida iseloomustab tihedusfunktsioon kus  on keskväärtus, mis isel...

Ositi integreerimine

Teiseks integreerimist lihtsustavaks võtteks on ositi integreerimise võte, mille eesmärgiks on uute muutujate sissetoomisega jõuda lihtsamate integreeritavate avaldi...

Permutatsioonid ja faktoriaal

Permutatsioon Permutatsioon on lihtsalt mingite fikseeritud objektide kindel ülesrivistus. Näiteks on jalgpallimeeskonna täpne reastus hümni laulmise aegu üks võimal...

Permutatsioonid, kombinatsioonid, variatsioonid

Permutatsioonid on n elemendilise hulga elementidest moodustatud n-elemen­dilised järjestatud osahulgad. Permutatsioonide arv leitakse valemiga Pn = n! Kirjutist n! ...

Piirväärtus ja pidevus

Piirväärtustest räägitakse kooliprogrammis eelkõige jadade ja funktsioonide puhul. Näiteks jada liikmed muutuvad järjest väiksemaks ja lähenevad hoogsalt nullile. Tõ...

Pindalade ligikaudne arvutamine

Meile tuntud valemid pindala arvutamiseks on rakendatavad ainult teatud kindlatele kujunditele nagu kolmnurk, ristkülik, romb, trapets jne. Tasapinnalise kõverjooneg...

Pinnatükki piiravad kaks kõverat

Olgu meil tarvis leida sellise kujundi pindala, mida piiravad kõverad f(x) ja g(x) ning sirged x = a ja x = b. Kui lõigus [a;b] on f(x)  g(x), siis saame otsitava pi...

Põhiintegraalide tabel

Erinevate integraalide leidmiseks on abiks integraalide tabelid. Integraalide tabelites tähistavad tähed a, b ja n konstante. Tabeleid kasutatakse koos muutuja vahet...

Polünoom

Polünoom on üks keeruline võõrsõna, aga sellel ei maksa end heidutada lasta – hullemategi sõnade taga peitub vahel täiesti toredaid selle: näiteks trubaduur või seis...

Pöördkeha ruumala

Kui tegemist on pöördkehaga, siis tema ristlõikeks mistahes kohal on ring, kusjuures ringi raadius r = f(x) ja S(x) =  r2 = [f(x)]2. Pöörelgu keha ümber x–telje ja a...

Proportsioonid ja kolmnurgad

Siin peatükis läheneme trigonomeetriale eelajaloolisest vaatevinklist, vaadeldes trigonomeetriat kitsamalt kui õpetust seostest kolmnurkades ning laiemalt kui õpetus...

Ruumala arvutamine

Definitsioon Integraali abil on võimalik leida mistahes keha ruumala, selleks on meil tarvis teada keha kõrgust h ja keha ristlõike pindala S(x) lõikekoha x funktsio...

Silindri ruumala

Tuletame silindri ruumala valemi. Asetsegu silinder tasandite x = 0 ja x = h vahel. Külgpind tekib sirge y = r pöörlemisel ümber x-telje. Seega silindri ruumala saab...

Sisukord

Matemaatika õhtuõpik Autorid: JUHAN ARU, KRISTJAN KORJUS, ELIS SAAR Sissejuhatus Matemaatika meie ümber Miks õppida matemaatikat? Kas matemaatika on raske? Innustus...

Sündmuse suhteline sagedus. Statistiline tõenäosus

Absoluutne ja suhteline sagedus  Buku saarel on 28 kirjaoskamatut inimest, kõrvalasuval Muku saarel aga 280 kirjaoskamatut. Mida me nende andmete kohta oskame öelda?...

Täistõenäosuse valem

Täistõenäosuse valem   Sissejuhatus teemasse näite kaudu   Näide täistõenäosuse valemi rakendamise kohta   Allikas: Täistõenäosuse valem  ...

Tõenäosus ja intuitsioon

Eelmises peatükis nägime, et tõenäosusteooriast mõtlemine ning tõenäosuslike kirjelduste ja vahendite kasutamine praktikas ei olegi alati nii lihtne, kui ainult täri...

Tõenäosuste liitmine ja korrutamine

Liitmise reegel     Korrutamise reeglid       Allikas: Tõenäosuste liitmine ja korrutamine  

Tõenäosusteooria põhimõisted

Põhimõisted ja seosed nende vahel Lähtemõisteks on tõenäosusteoorias sündmus. Sündmused on näiteks täringuga kuue silma heitmine, eksamil hinde "5" saamine, lotopile...

Tõenäosusteooria tähendus ja kasutamine

Tõenäosus tundub lihtne ja intuitiivne mõiste. Ühe kindla sündmuse tõenäosus võiks tähendada täpselt seda, kui tihti see konkreetne sündmus juhtub võrreldes teiste, ...

Tõenäosusteooria tekkimisest

Tõenäosusteooria arengus on suurt rolli omanud õnnemängud. Esimene teadaolev tõenäosusi uuriv raamat on Gerolamo Cardano (1501-1576) "Liber de Ludo Aleae" ("Raamat ...

Trigonomeetria ja perioodilised funktsioonid

Eelmises peatükis jõudsime trigonomeetriliste funktsioonideni, uurides küljepikkuste suhteid täisnurkses kolmnurgas. Saadud funktsioone kasutasime edasi seoste leidm...

Trigonomeetrilised avaldised ja nende teisendamine

Üks koolimatemaatikas enim tuska põhjustavaid teemasid on ilmselt trigonomeetriliste valemite teisendamine ja lihtsustamine. Antakse ette mingi järjestus sümboleid j...

Tuletis

Rahvaarv on riigi seisukohalt tähtis näitaja – ta mõõdab mõne rahva suurust ja vägevust, meie puhul küll vist pigem väiksust ja haavatavust. Siin on viimase poole sa...

Ümbermõõt, pindala ja ruumala

Alustame väikese mõtisklusega teemal, mida üldse tähendab mõõtmine. Mida me täpselt teeme, kui igapäevaelus asju mõõdame? Üks võimalus on mõõtmisest mõelda kui teata...

Variatsioonirida ja sagedustabel.

Variatsioonirida ja sagedustabel. Klassid Ühe kooli gümnaasiumiastmes õppivate noormeeste jalanumbrid on: Selline arvude järjestus on statistiline rida. Kui järjesta...

Vektor

Kui eelmise peatüki lõpetasime väikese mõistatusega, siis seekord alustame väikese mõistatusega: mis on pildil?   Tahtsite vastata nooled? Ei, matemaatiku, füüs...

Võrdus ja võrdsus

Võrdsus on igapäevane mõiste. Räägitakse võrdsetest valikutest, võrdsetest võimalustest, võrdsetest vahetustest. Seega ei ole üllatav, et võrdsus kuulub ka matemaat...

Võrrand

Võrrand aitab täpselt ja matemaatiliselt kirja panna teatavaid tingimusi. See on looduse ja ümbritseva kirjeldamise esimene etapp – maailma matemaatilistesse seostes...

Võrrand ja geomeetria

Mõni muutujarägastikuga võrrand võib alguses üsna eemaletõukav tunduda. Kuid ühte ilusti tõmmatud kõverat, mis väljendab sedasama võrrandit, on alati kaunis vaadata....

Võrrandi teisendamine ja lahendamine

Enamasti on võrrandi kirjapanek alles esimene samm. Järgneb võrrandi lahendamine: see tähendab, et tahame leida kõik arvud, mis kõiki võrrandiga ette kirjutatud ting...

Võrratus

Nagu nägime, võimaldab võrrand [lk 168] üsna täpselt ja arvuliselt tingimusi ja seoseid kirja panna. Mõnikord ei ole aga tingimused nii põhjalikud, et neid saaks võr...