Piirväärtus ja pidevus

Piirväärtustest räägitakse kooliprogrammis eelkõige jadade ja funktsioonide puhul.

Näiteks jada

piir

liikmed muutuvad järjest väiksemaks ja lähenevad hoogsalt nullile. Tõepoolest:

piir1

Sellisel juhul tundub mõistlik rääkida ka sellest, mis juhtub siis, kui jada liikmed otsa lõpevad. Mingis mõttes tahame rääkida jada „lõpmatult kaugest” liikmest. Tema väärtus konkreetsel juhul peakski olema null.

Jada piirväärtuse mõiste annab sellisele „lõpmatu kaugele” liikmele täpse tähenduse, aitab kindlaks teha, millal ta eksisteerib, ning leida tema väärtuse.

Ka funktsioonide korral võime rääkida väärtustest, mis jäävad lõpmatult kaugele – näiteks funktsiooni

piir3

piirväärtus, minnes lõpmatult kaugele, on analoogselt jada näitega null.

Funktsioonide korral on piirväärtustel siiski ka teine, ilustav roll.

Vaatame näiteks funktsiooni

piir4

Kui x on ühest erinev, võime nimetaja ja lugeja x – 1-ga läbi jagada. Saame, et iga ühest erineva arvu korral on meie funktsioon võrdne sirgega ƒ(x) = x + 1. Kohal 1 me funktsiooni väärtust aga välja arvutada ei tohi – nulliga ju jagada ei saa.

Ometigi, joonistades funktsiooni

piir4

graafiku kõikide ühest erinevate argumendi xväärtuste jaoks, näeme, et valides argumendi väärtuseid järjest lähemal ühele, läheneb ƒ(x) väärtus ühtlaselt kahele.

Näiteks

piir5

Seda demonstreerib ka kenasti funktsiooni graafik:

Nii tundub, et funktsiooni

piir4

loomulik väärtus kohal üks peaks olema täpselt kaks.

Piirväärtus annabki funktsioonide korral sellisele loomulikule augutäitmisele täpse tähenduse.

Kokkuvõttes võib öelda, et piirprotsessid aitavad meil aru saada ja kindlaks määrata, mis juhtub seal, kuhu meil pole lubatud vaadata või kuhu me ei ulatu vaatama.

Jada piirväärtus

 

Tuletame meelde, et märgiga ∞ tähistavad matemaatikud lõpmatust – midagi, mis on suurem kui ükski teine reaalarv. Nii on mõistlik jada piirväärtust ehk tema lõpmatu kauget liiget tähistada:

piir8

Kirjutame igaks juhuks veel kord välja ka tõlgenduse:

piir9

tähendab, et jada liikmete väärtused hakkavad mingist hetkest alates järjest enam lähenema väärtusele A, kusjuures jada väga kaugetel liikmetel ja arvul A on pea võimatu vahet teha. Matemaatikutele meeldib seda sõnastada öeldes, et jada an koondub väärtusesse A või et jada apiirväärtus on A.

Näiteks on jadade

piir10

või

piir11

piirväärtuseks null: mõlema jada liikmed muutuvad järjest väiksemaks ja nullile lähemale.

Räägitakse ka sellest, et jada koondub lõpmatusse – sel juhul mõeldakse, et jada liikmed muutuvad mingist hetkest järjest suuremaks ja nende suurusel pole ühtegi tõket ning tähistatakse

piir12

Näiteks on jada an = n või ka jada an = n2 – 9 piirväärtuseks lõpmatus.

Tegelikult ei ole sugugi selge, millal me üldse piirväärtusest täpselt rääkida tohime. Millised on tingimused selleks, et jada piirväärtus eksisteeriks?

 

Millal piirväärtus eksisteerib?

 

Seni oleme rääkinud, mida piirväärtus vaistlikult tähendab ning kuidas temast mõtelda, kuid oleme hoidunud rangest matemaatilisest definitsioonist.

Matemaatiliselt range definitsiooni kirjapanek ei ole küll hirmraske, kuid vajab teatavat täpsust ja tähelepanu – selleni jõuti alles 19. sajandil, just siis, kui romantism nõudis tundetäpsust.

Järgnevalt üritamegi jada näitel vastata küsimusele: millal oleks mõistlik öelda, et piirväärtus eksisteerib, ning kuidas seda täpselt matemaatiliselt defineerida? Siinkohal vaatame ainult juhtu, kus piirväärtus on lõplik.

Mõtleme korra veel sissejuhatuses toodud jadale

piir14

mille piirväärtus oli 0. Tundub, et esimene mõistlik nõue piirväärtuse leidumiseks on see, kui võime jõuda teatud väärtusele nii lähedale, kui süda lustib.

Ainult sellest siiski ei piisa, sest näiteks jada

piir15

korral jõuame argumendi n suurenemisel lähedale nii väärtustele 1 kui ka –1.

Kuna pendeldame nende kahe arvu lähedal, ei tundu mõistlik defineerida piirväärtust. Tahaksime piirprotsessides näha ikka teatavat eelistust!

Seega nõuame lisaks sellele, et jada väärtused jõuaksid mõnele arvule väga lähedale, ka seda, et nad jääksid sinna lähedale püsima. Selgub, et nendest kahest tingimusest juba täiesti piisab.

Jada an piirväärtuseks saame lugeda arvu A parasjagu siis, kui võime alati leida mõne jadaliikme an

  • mis on arvule A nii lähedal, kui vähegi soovime,
  • ja millele järgnevad jadaliikmed on A-le vähemalt sama lähedal.

Graafiliselt võime mõelda sellest nii.

Tõmbame väärtuse A ümber kaks horisontaalset sirget. Jada koondub väärtusesse A parajasti siis, kui olenemata sellest, kui lähedale A-le need sirged tõmbasime, on kõik jada liikmed mingist hetkest alates ikkagi nende kahe sirge vahel. Näiteks meie esimesel jadal on see omadus kindlasti olemas.

Kui tõmbaksime jooned nullile palju lähemale, näiteks kaugusele 0,001, siis peaksime ootama 1000 liiget, enne kui jõuaksime jadaga kahe joone vahele. Kui aga 0,000001 siis 1 000 000 liiget. Igal juhul jõuame alati kahe joone vahele ja selle pärast ütlemegi, et jada piirväärtus on 0.

Fanaatikutele anname ka matemaatilise kirjelduse, aga ärge peljake – esimest korda nähes peab igaüks seda lauset mitu korda lugema:

piir9

parajasti siis, kui iga positiivse arvu R jaoks saame leida mõne naturaalarvu N nii, et iga N-ist suurema naturaalarvu n korral kehtib |an – A| < R.

Tegelikult oleme muidugi lihtsalt ümber sõnastanud geomeetrilise mõtte – R tähendab siin seda, kui kaugele arvust sirged tõmbasime, ning N tähistab seda hetke, millest alates kõik jada väärtused nende sirgete vahele jäävad.

Võib tekkida küsimus: miks sellist keerulist matemaatilist kirjeldust üldse vaja on? Esiteks on punktides üks ja kaks toodud intuitiivsetel kirjeldustel endiselt veel palju tõlgendamisvabadust ning seega ei sobi need hästi matemaatika tegemiseks. Teiseks teeb esialgne keeruline definitsioon pärast elu lihtsamaks. Selline lühike kirjeldus aitab kiiresti, graafikuid joonistamata, otsustada, kas jadal leidub piirväärtus ja mis ta parasjagu on.

 

Funktsiooni piirväärtus

 

Funktsiooni ƒ(x) piirväärtust kohal x0 tähistatakse väga sarnaselt jadadega:

piir18

Piirväärtuse tõlgenduski on analoogne. Toodud kirjeldus tähendab, et kui funktsiooni argumendi x väärtus läheneb väärtusele x0, siis funktsiooni ƒ(x) väärtus läheneb järjest väärtusele a. Vahel öeldakse ka, et funktsioon ƒ(x) koondub kohal x0 väärtusesse a või et funktsiooni ƒ(x) piirväärtus kohal x0 on a.

Mõnikord on funktsioni piirväärtuse leidmine päris lihtne. Näiteks ruutfunktsiooni y = x2 korral on igas punktis piirväärtus võrdne funktsiooni enda väärtusega. Näiteks kohal –2 on tema piirväärtus seega 4. See tuleneb lihtsalt sellest, et ruutfunktsioon on kena pidev funktsioon – tema graafikut võib joonistada pastakat paberilt tõstmata.

 

Ent funktsiooni

piir20

piirväärtus kohal 0 puudub, sest nulli lähedal võtab funktsioon nii väga suuri positiivseid kui negatiivseid väärtusi ning jällegi ei suuda me otsustada, mida täpselt siis ikkagi piirväärtuseks valima peaks.

 

Samas funktsiooni

piir22

piirväärtus kohal 0 on lõpmatus.

Siin oleme otsustusvaevast pääsenud, mõlemal pool nulli muutub funktsiooni väärtus aina suuremaks. Matemaatika keeles võiks kirjutada:

piir23

 

Muidugi võib ka funktsioonide piirväärtuse olemasolu üle mõtiskleda veel pikemaltki.

Millal leidub funktsioonil piirväärtus?

Nagu nägime, pole seekordki sugugi selge, millistel funktsioonidel ja millistel kohtadel leidub piirväärtus. Tuleb välja, et ranged tingimused piirväärtuse leidumiseks on umbes sarnased kui jadade korral. Erinevus on vaid selles, et seekord ei vaata me järjest suuremaid jada liikmeid, vaid järjest sarnasemaid funktsiooni argumente.

Sellest on kõige lihtsam ilmselt mõelda jällegi geomeetriliselt.

Oletame, et tahame teada, kas funktsiooni ƒ(x) piirväärtus kohal x0 on a. Tõmbame nagu jadadegi puhul väärtuse a ümber alt ja ülevalt tõkestavate sirgjoonte paari.  Kui nüüd olenemata valitud sirgjoontest võime alati leida argumendi x0 ümber vahemiku, mille jaoks ƒ(x) graafik jääb nende sirgjoonte vahele, siis ongi ƒ(x) piirväärtus kohal xvõrdne a-ga.

Näiteks eelmise funktsiooni

piir20

piirväärtus kohal lõpmatus on null ehk

piir25

sest me saame nulli ümber tõmmata kaks horisontaalset sirget ning võime kindlad olla, et piisavalt suure sisendi korral jääb funktsiooni väärtus kindlasti nende joonte vahele.

Muuseas, on võibolla natuke üllatav, aga see tingimus jätab vabaks ka järgmise võimaluse: funktsioonil leidub küll mingil kohal kindel väärtus, aga piirväärtust seal pole. Näiteks võib vaadata funktsiooni, mis võtab väärtuseks miinus ühe, kui sisendarv on negatiivne; pluss ühe, kui sisendarv on positiivne, ning nulli, kui sisendarv on null. Mis peaks olema selle funktsiooni piirväärtus kohal null?

 

Piirväärtuse tähtsus matemaatikas

 

Funktsiooni piirväärtus võib esmapilgul tunduda ehk tühi-tähi, justkui ainult mingi augutäide. Üllatavalt on tema roll funktsioonide uurimisel väga märkimisväärne. Miks?

Esiteks aitab piirväärtus rangelt kirja panna matemaatilisi mõisteid, mis räägivad „lõpmatult väikesest“. Näiteks on piirväärtuste abil defineeritud tuletis – funktsiooni muutumise hetkekiirus. Võime mõelda, et tegemist on keskmise kiirusega lõpmatult väikese ajavahemiku jooksul.

Samamoodi on piirväärtuste abil defineeritud integraal [lk 340], millest võime mõelda kui kõverkujundi pindalast ja mille võime arvutada lõpmatult väikeste ristkülikute pindalade kokkuliitmisel.

Põnevust lisab ka see, et saame piirväärtuse abil defineerida ka näiteks arvud e ja π ning veel teisigi põnevaid arve [lk 96]. Muuseas, π defineerimisel on seejuures piirprotsess oma olemuselt geomeetriline: vaatame, kuidas korrapärased hulknurgad järjest enam ringjoonega sarnanema hakkavad. Tegelikult osutuvadki oluliseks mitte ainult arvulised, vaid ka geomeetrilised piirprotsessid.

 

 

Õigupoolest võib ka reaalarvude hulga kokku panna ratsionaalarvudest ja hästi valitud piirväärtustest: näiteks arvu π koondub jada 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415 …, kus võtame lihtsalt appi järjest rohkem π komakohti.

Piirväärtusi kasutades saame lisaks irratsionaalarvude leidmisele nendega ka tehteid tegema hakata. Nimelt selgub, et kui piirväärtused eksisteerivad ja on lõpliku suurusega, saab neid väga kenasti liita ja korrutada.

Näiteks kui soovime leida funktsioonide xja x summa x2 piirväärtust kohal 2, siis võime

  • esmalt leida piirväärtuse funktsioonile xkohal 2 – vastuseks 4,
  • seejärel piirväärtuse funktsioonile x kohal 2 – vastuseks 2,
  • viimaks saadud piirväärtused kokku liita – lõppvastuseks 6.

Matemaatiliselt  kirjutaksime:

piir29

Selle reegli kasutamisel peab siiski ettevaatlik olema: tuleb alati kontrollida, et mõlema liidetava piirväärtused üksipäini eksisteerivad. Samasugune reegel kehtib ka korrutamise jaoks, kusjuures peab olema samavõrra ettevaatlik.

Piirväärtuse kõige suurem sõber on aga pidevuse mõiste.

 

Funktsiooni pidevus

 

Intuitiivselt on funktsioon pidev siis, kui võime tema graafiku joonistada pliiatsit paberilt tõstmata. Aga kas saaksime ka kuidagi graafikut joonistamata teada, kas funktsioon on pidev?

Selle jaoks peame üritame aru saada, mida ikkagi tähendab, et me ei pea pliiatsit paberilt tõstma.

Oletame, et oleme joonistanud juba funktsiooni piirkonnas näiteks nullist peaaegu kolmeni ja tahame nüüd graafikut edasi päris argumendi kolm väärtuseni välja tõmmata. Selle jaoks, et saaksime kolmele vastava punkti joonistatud pliiatsit paberilt tõstmata, peame tema väärtusele olema pliiatsi otsaga jõudnud juba väga lähedale, võiks isegi öelda „lõpmatult lähedale”.

Vahele ei või jääda kõige miniatuursematki auku – muidu peaksime pliiatsiga ju teatava hüppe tegema:

Toodud kirjelduses võib ära tunda jälle idee koondumisest – uurime, kuidas funktsiooni väärtused muutuvad, kui jõuame argumendile 3 järjest lähemale. Ja tõepoolest, funktsiooni pidevust saab rangelt kirja panna just piirväärtuste abil.

Funktsiooni pidevusest räägitakse alguses lokaalselt, ühe valitud punkti ümbruses. Funktsiooni nimetatakse mingil kohal pidevaks, kui selles punktis eksisteerib funktsioonil piirväärtus ning see piirväärtus on sama, mis funktsiooni enda väärtus.

Mõned sõnad võime matemaatilisemaks ja kompaktsemaks esitamiseks asendada ka sümbolitega.

Funktsioon ƒ(x) on pidev kohal a, kui leidub piirväärtus

piir33

ning ta on võrdne funktsiooni väärtusega kohal ƒ(a).

Näiteks ƒ(x) = x2 on pidev kohal 2, sest

piir34

ning samas

piir36

Muidugi ei ole see kellelegi uudiseks, sest teame, et ruutfunktsiooni graafikut võib joonistada ühe kiire pliiatsitõmbega, isegi märkamata, kuidas kohast 2 möödume.

Ruutfunktsioon on pidev kogu reaalteljel ning üldisemalt nimetatakse selliseid funktsioone, mis on pidevad kõikides oma määramispiirkonna punktides, pidevateks funktsioonideks.

Kõik eelmises peatükis nähtud funktsioonid – eksponentsiaalfunktsioon, logaritm ja polünoomid – on pidevad. Samuti on pidevad trigonomeetrilised funktsioonid. Võib küll mõelda, et tangensfunktsioon teeb ju kummalise hüppe, aga see hüpe ei kuulu tema määramispiirkonda.

Võib mõelda, et pidevus lisab funktsioonidele teataval määral regulaarsust, korrapära ja muudab neid seega lihtsamaks: nimelt ei saa pidev funktsioon hüppeid teha, funktsiooni väärtust igal kohal on võimalik ennustada teda ümbritsevate väärtuste abil.

Siiski võib ka pidev funktsioon välja näha väga hüplik ja näiteks leidub pidevaid funktsioone, millel ei leidu üheski kohas tuletist [lk 320] – neile ei saa üheski punktis tõmmata puutujajoont! See avastati alles 19. sajandi lõpus ning nii mõnigi tähtis matemaatik nimetas selliseid funktsioone peletisteks.

 

Pidevuse trikk: funktsioonist ratsionaalarvude funktsioonini reaalarvudel*

 

Pidevast funktsioonist võime rääkida ka ratsionaalarvuliste funktsioonide korral: sel juhul on lihtsalt kõik piirprotsessid defineeritud ainult ratsionaalarvude hulgal.

Näiteks arvude puhul defineerisime arvu astme ainult ratsionaalarvuliste astendajate korral ja tulemuseks oli pidev funktsioon ratsionaalarvudel [lk 110].

Üldiselt on pideva ratsionaalarvulise funktsiooni laiendamiseks reaalarvudele väga palju võimalusi. Võime ju iga lubatud irratsionaalarvu jaoks valida mingi suvalise funktsiooni väärtuse.

Näiteks oleks täiesti lubatud funktsioon, mis igale ratsionaalarvule seab vastuseks iseenda ning igale irratsionaalarvule hoopis nulli. See poleks küll eriti kena masin, aga igati lubatud.

Samas kui nõuame, et ka saadud reaalfunktsioonil säiliks pidevus, on laienduseks täpselt üks võimalus: kõik augud tuleb täita funktsiooni piirväärtuste abil.

See trikk võimaldabki meil tihti alustada ühe funktsiooni defineerimist ratsionaalarvudel ning alles lõpus pidevuse abil reaalarvudele üle minna. Näiteks saime täpselt selle triki abil laiendada astendamise ilusaks pidevaks eksponentsiaalfunktsiooniks [lk 280]. Täpselt sama meetod aitab meid veel ka näiteks ristküliku pindalade defineerimisel tükeldamise meetodil [lk 362].

 

Tuletis