Määratud integraal
Kui funktsioon f(x) on integreeruv lõigus [a;b], siis tema kõigi algfunktsioonide muudud, mis vastavad argumendi muudule =b – a, on võrdsed.
Seda on kerge mõista geomeetrilise esituse kaudu. Et algfunktsioonid erinevad vaid konstantse liidetava poolest, siis nende graafikud on saadavad üksteisest y-telje sihilise lükkega. Vastavad muudud on võrdsed.
Järgneval GeoGebra lehel, saad muuta konstanti C ja veenduda selles, et funktsiooni muudud on võrdsed.
Sulle võivad huvi pakkuda need õppematerjalid:
Harjutusülesandeid matemaatika riigieksamiks
Liitmine ja lahutamine 20 piires
Tasandilised kujundid
Kirjalik lahutamine
Üksliikmed, hulkliikmed ja tehted nendega
Kell ja kellaaeg
Ruutvõrrandi abil lahenduvad tekstülesanded
Ruutvõrrandi mõiste, ruutvõrrandi lahendivalem, ruutvõrrandi liigid
Liitmine 10 piires
8. klassi matemaatika teooriavideod
Numbrilised seosed
Lahutamine 20 piires
Ruutvõrrand
Peastarvutamine I kooliastmele
Liitmine 20 piires
Ruumilised kujundid
Algebralised murrud
Ratsionaalavaldised
Peastarvutamine eelkoolile
II kooliastme matemaatika reeglite kordamine
Definitsioon
Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Olgu F(x) funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon, s.t. F´(x) = f(x) lõigus [a; b], siis määratud integraali defineerib valem:
Seda valemit nimetatakse ka Newton-Leibnizi valemiks.
Ka määratud integraali leidmise tehet nimetatakse integreerimiseks, sest siingi tuleb esmalt leida antud funktsiooni algfunktsioon.
Samuti on määratud integraalil analoogilised omadused nagu määramata integraalil, kuid lisanduvad ka mõned uued omadused.
Omadused
1. Konstandiga korrutatud funktsiooni integreerimine:
2. Summa või vahe integreerimine:
3. Integraali rajade vahetamine:
4. Määratud integraali aditiivsus:
Näited:
Arutelu
Tee joonis ja mõtle, kas seda oleks võimalik leida ka teisiti.
Tegemist paarisfunktsiooniga. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Kui ka rajad on sümmeetrilised y-telje suhtes, siis kehtib valem:
Arutelu
Tee joonis ja mõtle, kas seda oleks võimalik leida ka teisit