Bernoulli valem

Bernoulli valem

Kui sündmuse A tõenäosus igal katsel on p, siis tõenäosus, et n katse korral sündmus A toimuks k korda leitakse valemiga

P_n,k = C_n,k · p^k · q^n−k, kus

q = 1 − p.

Lihtne ülesanne osutub tülikaks

Kivipallur tabab igal viskel korvi tõenäosusega 0,7. Kui suur on tõenäosus, et Kivipallur 20 viske korral tabab korvi täpselt 12 korda?

Sulle võivad huvi pakkuda need õppematerjalid:

Kõigepealt lahendame selle ülesandega sarnase ülesande.

Kivipallur tabab igal viskel korvi tõenäosusega 0,7. Kui suur on tõenäosus, et Kivipallur nelja viske korral

a) ei taba üldse korvi,

b) tabab täpselt ühe korra,

c) tabab kaks korda,

d) tabab kolm korda,

e) tabab kõik visked?

Kivipallur tabab tõenäosusega p = 0,7 ja ei taba tõenäosusega q = 1 – 0,7 = 0,3.

Kirjutame välja kõik võimalused, kuidas Kivipallur võib visata, tähistades tabava viske T-ga ja möödaviske M-ga:

TTTT – kõik visked tabavad

TTTM TTMT TMTT MTTT – kolm tabavat viset

TTMM TMTM MMTT TMMT MTMT MTTM – kaks tabavat viset

TMMM MTMM MMTM MMMT – üks vise tabab

MMMM – kõik visked lähevad mööda

Nüüd saame leida otsitavad tõenäosused:

a) Kivipallur ei taba ühtegi korda:

P_4,0 = 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,3⁴ = 0,0081;

b) Kivipallur tabab täpselt ühe korra:

P_4,1 = 0,7 · 0,3 · 0,3 · 0,3 + 0,3 · 0,7 · 0,3 · 0,3 + 0,3 · 0,3 · 0,7 · 0,3 + 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,7 = 4 · 0,7 · 0,3³ = 0,0756;

c) Kivipallur tabab täpselt kaks korda

P_4,2 = 0,7·0,7·0,3·0,3 + 0,7·0,3·0,7·0,3 + 0,3·0,3·0,7·0,7 + 0,7·0,3·0,3·0,7 + 0,3·0,7·0,3·0,7 + 0,3·0,7·0,7·0,3 = 6 · 0,7² · 0,3² = 0,2646;

d) Kivipallur tabab kolm korda

P_4,3 = 0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,3 + 0,7 · 0,7 · 0,3 · 0,7 + 0,7 · 0,3 · 0,7 · 0,7 + 0,3 · 0,7 · 0,7 · 0,7 = 4 · 0,7³ · 0,3 = 0,4116;

e) Kivipallur tabab kõik visked

P_4,4 = 0,7⁴= 0,2401.

Kontrollimiseks liidame saadud tõenäosused P_4,0+ P_{4,1 +}P_{4,2 +}P_{4,3 +}P_4,4.Tõenäosuste summa on 1, ja nii peabki olema, sest Kivipallur tabab 4 korda, kolm korda, kaks korda, ühe korra või ei taba üldse. Kõik võimalikud variandid on arvesse võetud.

Kas seda tülikalt pikka lahenduskäiku ei saa asendada lühema lahendusega?

Kui palju on üldse variante?

Eespool olevast ülesande lahendusest näeme, et

4-st viskest 0 tabamuse saamiseks on 1 võimalus s.o. C_4,0;

4-st viskest 1 tabamuse saamiseks on 4 võimalust s.o. C_4,1;

4-st viskest 2 tabamuse saamiseks on 6 võimalust s.o. C_4,2;

4-st viskest 3 tabamuse saamiseks on 4 võimalust s.o. C_4,3 ja

4-st viskest 4 tabamuse saamiseks on 1 võimalus, s.o. C_4,4.

Kas selle arutelu põhjal saab ilma variante välja kirjutamata öelda, kui palju on võimalusi 12 tabava viske tegemiseks 20 viske korral?

Jah, saab küll. Võimalusi on C_20,12.

Lahendame nüüd Bernoulli valemiga ülesande:

kivipallur tabab igal viskel korvi tõenäosusega 0,7. Kui suur on tõenäosus, et Kivipallur 20 viske korral tabab korvi täpselt 12 korda?

Bernoulli valemi järgi

P_20,12 = C_20,12 · 0,7¹² · 0,3⁸ = 125970 · 0,7¹² · 0,3⁸≈ 0,11.

Näidisülesanded:

1.Hiina keele test

Hiina keele testis on 40 küsimust, igal küsimusel neli vastusevarianti. Marti, kes hiina keelt ei oska, vastas kõikidele küsimustele täiesti juhuslikult. Kumb on tõenäosem – kas ta vastas kõikidele küsimustele õigesti või vastas kõikidele küsimustele valesti?

Leidke vastavad tõenäosused.

Vastus:

Kõikidele küsimustele õigesti vastamise tõenäosus on

P_40,40 = C_40,40·0,25⁴⁰ = 0,25⁴⁰ ja

kõikidele küsimustele valesti vastamise tõenäosus on

P_40,0 = C_40,0·0,75⁴⁰ = 0,75⁴⁰.

Vastus: tõenäosus, et kõikidele küsimustele vastatakse valesti, on suurem.

2.Kahe maletaja probleem

Kaks enam-vähem ühesuguse tasemega maletajat pidasid Bastille´i vallutamise aastapäeva puhul 12-partiilise matši. Kumb on tõenäosusem – kas matš lõpeb seisuga 8 : 4 või 7 : 5?

Arvutage vastavad tõenäosused Bernoulli valemiga.

Vastus: seis 7 : 5 on tõenäolisem

Allikas: Bernoulli_valem