Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax+b=0, kus x on tundmatu ja a ≠ 0 lineaarliikme kordaja ja b on vabaliige.

Sellel võrrandil on üks lahend

• Lineaarvõrrandil lahendid puuduvad, kui a = 0 ja b ≠ 0.
• Lineaarvõrrandil on lahendeid lõpmata palju, kui a = 0 ja b = 0.

Lineaarvõrrandi lahendamine toimub järgmise üldskeemi järgi:

1. kui võrrand sisaldab harilikke murde, siis vabaneme nendest, korrutades võrrandi mõlemaid pooli kõigi murdude ühise nimetajaga;
2. lihtsustame võrrandi mõlemaid pooli (sulgude avamine, sarnaste liidetavate koondamine);
3. viime tundmatuga liikmed võrrandi ühele poolele ja vabaliikmed teisele poolele, muutes kõigi üleviidavate liikmete märgid vastupidiseks;
4. koondame sarnased liidetavad;
5. leiame lahendi, jagades võrrandi mõlemat poolt tundmatu kordajaga (kui see ei ole null). Leitud lahendit tuleb osata vajadusel kontrollida.

Kontrolliks asendame saadud lahendi esialgsesse võrrandisse. Esialgu lahendame ära parema poole võrrandist, seejärel vasaku poole. Kui vasak pool võrdub parema poolega, on lahend õige.

N1: Lahendame võrrandi:

2(2x – 5) = 20 – x

Avame sulud 4x – 10 = 20 – x, millest

4x + x = 20 + 10, ehk

5x = 30 I : 5

x = 6

Kontroll: vasak pool: 2(2 ∙ 6 – 5) = 2 ∙ (12 – 5) = 2 ∙ 7 =14

parem pool: 20 – 6 = 14

Vasak pool võrdub parema poolega.

Vastus: võrrandi lahendiks on 6.

N 2: Lahendame võrrandi:

2(2x – 1) = 4x – 2.

Avame sulud: 4x – 2 = 4x – 2 (1)

4x – 4x = -2 + 2 (2), millest:

0x = 0.

Vastus: lahendeid on lõpmata palju.

Viimane võrdus kehtib iga tundmatu x väärtuse korral (0 • x = 0). Kuna võrrandi lahendamisel on kasutatud üksnes võrrandi samaväärsusteisendusi, siis kehtivad iga x väärtuse korral ka võrdused (1) ja (2). Seega on lahendiks iga reaalarv. Sellist võrdust nimetatakse samasuseks.

N3: Lahendame võrrandi:

2(x + 1) = 2x + 20.

Avame sulud: 2x + 2 = 2x + 20, millest

2x – 2x = 20 – 2 ehk

0x = 18.

Viimane võrdus ei kehti ühegi x väärtuse korral, sest võrduse vasaku poole väärtus on iga x väärtuse korral võrdne nulliga, parem pool aga mitte. Võrrandil ei ole lahendeid. Öeldakse, et võrrand on vastuoluline.

N4: Lahendame võrrandi:

(murdude ühine nimetaja)

2(x – 1) + 2 – 5x = 18, ehk

2x 2 + 2 – 5x = 18, millest

-3x = 18|: (-3)

x = -6

Kontroll: Vasak pool (vp): (-6 -1): 3 + [2 – 5 • (-6)] : 6 = -21/3 + 5 1/3 = 3

Parem pool (pp): 3

Vp = pp, järelikult on võrrand õigesti lahendatud, sest on tekkinud õige võrdus antud tundmatu väärtuse korral.

Harjuta:

• Ühe tundmatuga lineaarvõrrand 1
• Ühe tundmatuga lineaarvõrrand 2
• Ülesanne 1
• Ülesanne 2
• Ülesanne 3
• Ülesanne 4
• Ülesanne 5