Geomeetrilised kujundid

5. klass > Matemaatika > Matemaatika põhivara

Geomeetrilised kujundid

Selleks, et tutvuda vastava kujundiga lähemalt, tee hiireklõps vastaval kujundil. (Paremini nähtav arvutis)

Tasapinnalisi geomeetrilisi kujundeid.

tasapinnalised geomeetrilised kujundid

Ruumilisi geomeetrilisi kujundeid.

ruumilised geomeetrilised kujundid

 

Punkt

Punkt on kõige lihtsam geomeetriline kujund. Punktil ei ole mõõtmeid, st pikkust ega laiust.

Punkti tähistatakse joonisel tavaliselt punkti, risti või väikese ringiga.

punktid

Ristiga punkti märkimisel loetakse punktiks joonte ristumise koht.

Punkt tähistatakse suure tähega, näiteks joonisel A, B ja C.

Neid punkte loetakse: punkt A, punkt B, punkt C.

 

Sirge

sirge

Sirglõigu pikendamisel üle mõlema otspunkti saame sirge. Sirge pikkust ei ole võimalik mõõta, sest sirglõiku võib pikendada üle mõlema otspunkti lõpmatult kaugele. Läbi kahe punkti saame joonestada ainult ühe sirge.

Joonisel olevaid sirgeid tähistame: sirge AB ning sirge a. Sirget ja lõiku eristame eelneva sõnaga, näiteks sirge AB ja lõik AB.

 

Ristsirge

Ristsirged ehk ristuvad sirged on kaks lõikuvat sirget, mis lõikumisel moodustavad täisnurga.

Joonestame antud sirgele ristsirge

  1. läbi antud punkti O, mis asetseb antud sirgel (Nähtav arvutis) t;
  2. läbi antud punkti O, mis asetseb väljaspool antud sirget (Nähtav arvutis) t.

matemaatika 5 klass9

 

Kahe sirge vastastikune asend tasandil

Kaks sirget tasandil on alati kas lõikuvad, paralleelsed või kattuvad.

Kaks sirget on lõikuvad, kui neil on ainult üks ühine punkt.

Kaks sirget on paralleelsed, kui neil pole ühtegi ühist punkti.

Kaks sirget on kattuvad, kui kõik nende punktid on ühised.

Matemaatika 5 klass10

 

Sirglõik ehk lõik

sirglõik ehk lõik

Kui kaks punkti ühendada sirge joonega, saame sirglõigu. Sirglõiku nimetatakse sageli ka lihtsalt lõiguks.

Sirglõiku tähistatakse kas otspunktide märkimisega AB või ühe tähega a.

Joonisel kujutatud sirglõike loetakse: „Lõik AB ja lõik a.”

Sirglõigu pikkust märgitakse järgmiselt: AB = 4 cm või a = 5 cm.

 

Kiir

Sirglõigu pikendamisel üle ühe otspunkti saame kiire. Kiire pikkust ei ole võimalik mõõta, sest sirglõiku saab pikendada üle ühe otspunkti lõpmatult kaugele.

kiir

 

Sirglõikdiagramm

Sirglõikdiagrammis kasutatakse arvandmetest piltliku ettekujutuse saamiseks lõike.

Näide 1.

Matemaatika 5 klass11

Näide 2.
Kolmanda klassi õpilased heegeldasid tööõpetuse tunnis lõngast ketti. Tunni lõpul mõõdeti kettide pikkused. Koostame tulemuste põhjal sirglõikdiagrammi.
Sisesta heegeldatud kettide pikkused sentimeetrites.
Andmete sisestamiseks vajuta hiirega siia. (Nähtav arvutis)

 

Murdjoon

Murdjoon koosneb punkte järjestikku ühendavatest lõikudest, kusjuures kolm järjestikust punkti ei asu ühel sirgel.

Joonisel on murdjoon ABCDE.
Antud punkte ühendavad lõigud on murdjoone lülid.
Lõikude otspunktid on murdjoone tipud.
Iga murdjoon on pikem tema otspunkte ühendavast lõigust.

Kui murdjoone otspunktid ei ühti, on murdjoon lahtine (murdjoon ABCDE). Kui murdjoone otspunktid ühtivad, on see kinnine murdjoon (murdjoon FGH ja murdjoon IJKLM). Kinnine murdjoon moodustab hulknurga.

Matemaatika 5 klass12

 

Murdjoone pikkus

Murdjoone pikkus on võrdne teda moodustavate sirglõikude pikkuste summaga.

murdjoon

Näide.
Olgu murdjoone lülide pikkused 3 cm, 2 cm, 4 cm, 1 cm ja 2 cm. Leiame murdjoone pikkuse.

3 + 2 + 4 + 1 + 2 = 12 (cm)

Vastus. Murdjoone pikkus on 12 cm. (Nähtav arvutis)

 

Hulknurk

Hulknurga moodustab tasandil olev kinnine murdjoon. Murdjooneks nimetatakse niisugust kujundit, mis koosneb punkte järjestikku ühendavatest lõikudest, kusjuures kolm järjestikust punkti ei asu ühel sirgel.

Hulknurka, millel on võrdsed küljed ja võrdsed nurgad, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks.

Kõikide hulknurkade (kolmnurk, nelinurk, ristkülik, ruut jt) korral mõeldakse nende kujundite all
1) kinnist murdjoont ja
2) kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab.

matemaatika 5 klass13

 

Ristkülik

Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad.

matemaatika 5 klass14

 

Ruut

ruut

Ruuduks nimetatakse võrdsete külgedega ristkülikut.
Ruut on kinnine murdjoon, mis koosneb neljast ühepikkusest lülist.
Ruudul on neli tippu.
Ruudu kõik küljed on võrdse pikkusega.
Ruudu kõik nurgad on täisnurgad, s.o 90o.

 

Ruudu pindala

matemaatika 5 klass15

Pindala suurus näitab, mitu ühikruutu katavad kujundi.

S = a2
S – ruudu pindala
a – ruudu külje pikkus

pindala = külje pikkus · külje pikkus

Näide.
Leiame ruudu pindala, kui ruudu külje pikkus a = 6 cm.
S = 62 = 6 · 6 = 36 (cm2)
Vastus. Ruudu pindala on 36 cm2.

 

Viisnurk

Matemaatika 5 klass16

Viisnurga moodustab viiest lülist koosnev kinnine murdjoon koos sellega piiratud tasandi osaga.

Joonisel on viisnurk ABCDE.

Viisnurgal on 5 külge, 5 tippu ja 5 nurka. Viisnurga nurkade summa on 540º.

 

Kuusnurk

Matemaatika 5 klass17

Kuusnurga moodustab kuuest lülist koosnev kinnine murdjoon koos selle poolt piiratud tasandi osaga.
Joonisel on kuusnurk ABCDEF.

Kuusnurgal on 6 külge ja 6 tippu.

Kuusnurga nurkade summa on 720o.

 

Nurk

Nurga moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt koos tasandi osaga, mis jääb nende kiirte vahele.

Joonisel on kujutatud nurk AOB. Kiirte alguspunkt O on nurga tipp. Kiiri OA ja OB nimetatakse haaradeks. Punkt O on nurga tipp, tipust väljuvad haarad OA ja OB.  Vaadeldavat nurka märgitakse kaarega nurga sees.

Matemaatika 5 klass18

Nurka märgitakse lühidalt AOB või lihtsalt O. Täht, mis tähistab nurga tippu, kirjutatakse nurga keskele.

Nurga tähistamiseks kasutatakse vahel ka kreeka tähestiku väiketähti alfa, beeta ja gamma.

Näiteid nurkadest:

Matemaatika 5 klass19

 

 

Nurkade liigitamine

sirgnurk Sirgnurk on nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone.
Sirgnurga suurus on 180o.
täisnurk Täisnurk on pool sirgnurgast.
Täisnurga suurus on 90o. Vaata veel näiteid täisnurkadest.
teravnurk Teravnurk on nurk, mis on täisnurgast väiksem.
Teravnurk on väiksem kui 90o.
nürinurk Nürinurk on nurk, mis on täisnurgast suurem, kuid sirgnurgast väiksem.
Nürinurk on suurem kui 90o, kuid väiksem kui 180o.
täispööre Täispööre koosneb kahest sirgnurgast.
Täispöörde suurus on 360o.

 

Täisnurk

Täisnurk on nurk, mille suurus on 90o.

Matemaatika 5 klass20

 

 

Nurgapoolitaja

Nurgapoolitaja on kiir, mis lähtub nurga tipust ja poolitab antud nurga.

Nurgapoolitaja iga punkt on nurga mõlemast haarast ühel ja samal kaugusel.

matemaatika 5 klass21

Kuidas joonestada nurgapoolitajat? (Nähtav arvutis)

 

Nurkade võrdlemine

Kahe nurga võrdlemiseks tuleb üks nurk paigutada teise peale nii, et nende tipud ja ühed haarad ühtivad. Seejärel tuleb vaadata, kuhu langeb pealmise nurga teine haar. Vastavalt sellele saab määrata, kumb nurkadest on suurem, kumb väiksem või on nad võrdsed. Nurga suurus ei olene nurga haarade pikkusest.

Nurkade võrdlemisel võib esineda kolm võimalust.

  1. Teine haar langeb nurga sisse.Näide.Võrdleme nurki AOB ja CDE. Vaata nurkade võrdlemist.  (Nähtav arvutis)
    AOB > CDE
    nurgad
  2. Teine haar langeb väljapoole nurka. Näide.Võrdleme nurki AOB ja EFG. Vaata nurkade võrdlemist. (Nähtav arvutis)
    AOB < EFG
    nurgad
  3. Teine haar langeb alumise nurga teise haara peale.Näide.Võrdleme nurki AOB ja LMN. Vaata nurkade võrdlemist. (Nähtav arvutis)
    AOB = LMN
    nurgad

Kõrvunurgad

Matemaatika 5 klass22

Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht nurka, millel üks haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge.

Nurgad ja on kõrvunurgad.

Kõrvunurkade summa on 180o (sirgnurk). Kui on antud üks kahest kõrvunurgast, saame arvutada teise, lahutades 180o-st teadaoleva nurga suuruse.

Näide.
Nurga suurus on 45o. Leiame, kui suur on nurk .

180o – 45o = 135o
Vastus. Nurk on 135o.

 

Tippnurgad

Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu.

Tippnurgad on võrdsed.

matemaatika 5 klass23

 

Joonisel on tippnurgad  AOB ja  COD

Matemaatika 5 klass24

Samuti on tippnurgad  AOD ja  BOC

matemaatika 5 klass25

 

Nurga mõõtmine

Nurga suuruse mõõtmiseks kasutatakse malli. Mall paigutatakse nurgale nii, et nurga tipp asetseks malli keskpunktis ja mõõdetava nurga üks haar läbib malli nullpunkti. Mallil on tavaliselt kaks skaalat, neist ühe nullpunkt on vasakul, teise nullpunkt paremal pool. Kriipsuke skaalal, mida läbib teine haar näitab nurga suurust kraadides.

matemaatika 5 klass26

Kuidas lugeda tulemust, kas välimiselt skaalalt või sisemiselt skaalalt? Tulemust loeme sellelt skaalalt, mille nullpunkti läbib nurga üks haar.

Näide 1. (Nähtav arvutis)

Näide 2. (Nähtav arvutis)

 

Nurgakraad

Nurga suurust mõõdetakse kraadides. Nurk suurusega 1 kraad saadakse, kui täisnurk jaotatakse 90 võrdseks osaks. Nurga kraadi tähistatakse 1°.

Täisnurga suurus on 90°, sirgnurga suurus on 180°, täispööre on 360°.

Matemaatika 5 klass27

 

Peegeldustelg

Joonisel on kolmnurk A’B’C’ saadud kolmnurga ABC peegeldamisel sirgest t. Sirge t on peegeldustelg. Kolmnurgad ABC ja A’B’C’ on võrdsed, sest neid saab paigutada teineteisele nii, et nad ühtivad.  (Nähtav arvutis)
ABC = A’B’C’
Kolmnurk A’B’C’ on kolmnurga ABC kujutis.

Kolmnurkade punktid A ja A’, B ja B’, C ja C’ on sümmeetrilised sümmeetriatelje t suhtes. Need kolmnurgad on sirge t suhtes sümmeetrilised.

  1. Sümmeetrilised punktid asuvad sümmeetriateljega risti olevatel lõikudel.
  2. Sümmeetrilised punktid asuvad sümmeetriateljest võrdsetel kaugustel.

Kuidas joonestada sirge suhtes antud punktiga sümmeetriline punkt?  (Nähtav arvutis)

Kuidas peegeldada kolmnurk ABC sirgest t?  (Nähtav arvutis)

 

Sümmeetriatelg

Sümmeetriatelje suhtes on kujundi mõlemad pooled peegelpildilised.
Sirge t on joonisel sümmeetriatelg.

Matemaatika 5 klass28

 

Vaata lisaks: Mõõtühikud