Integraal

12. klass > Matemaatika > Integraal

Integreerimine koos oma pöördtehte diferentseerimisega on üks matemaatilise analüüsi baasmõistetest.

Määratud integraal reaalmuutuja funktsioonist f(x) lõigul [a,b] on suurus

Integraal

mida võib tõlgendada kui funktsiooni f(x) graafiku ja x-teljega piiratud pinna pindala. Pindala loetakse negatiivseks, kui f(x) on negatiivne ja positiivseks, kui f(x) on positiivne.

Määramata integraal reaalmuutuja funktsioonist f(x) on funktsioon

Integraal1

kus tuletis F’(x) = f(x). Määramata integraali tundmine võimaldab arvutada määratud integraali:

Integraal2

Viimast võrdust nimetatakse Newtoni-Leibnizi valemiks.

Kui on antud funktsioon, siis võime leida tema tuletise, näiteks: liikumise võrrandi järgi saab leida kiirust, mis võrdub  teepikkuse tuletisega aja järgi, joone võrrandi põhjal saab tuletise abil leida selle joone puutuja  tõusu jne. Aga sageli on vaja lahendada vastupidist ülesannet: keha liikumise kiiruse valemi järgi leida liikumise võrrand, joone puutuja tõusu järgi leida joone võrrand jne. Sellistel juhtudel on vaja leida funktsioon, mille tuletis on teada. Siin tuleb appi integraal, sest integreerimine on diferentseerimise pöördtehe.

Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks, kui F(x)’=f(x). Funktsioooni f(x) algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks (integration, antidifferentation).

 

Diferentseerimine võimaldab leida ümbritsevas reaalsuses toimuva nähtuse, protsessi intensiivsust (näit. suuruse muutumise kiirus), kui on teada seda nähtust kirjeldav matemaatiline mudel.

Integreerimine võimaldab leida nähtust, protsessi kirjeldavat matemaatilist mudelt, kui on teada nähtuse kulgemise intensiivus, protsessi kirjeldava suuruse muutumise kiirus.