KOLMNURK

9. klass > Matemaatika > Põhikooli matemaatika eksamiks kordamine

Kolmnurgaks nimetatakse kolme punktiga määratud kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab.

113

Joonisel oleva kolmnurga moodustab kinnine murdjoon, mille tipud on A, B ja C. Murdjoone lülid on kolmnurga küljed. Kolmnurga külgede märkimiseks on mitu moodust.

Külgi võib märkida AB, BC, AC või a, b, c.

Kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg: b + c > a, a + c > b, a + b > c.

Murdjoone tipud on kolmnurga tipud. Kirjas märgitakse kolmnurka ABC lühidalt ∆ABC.

Joonisel oleva kolmnurga tippudeks on punktid A , B ja C .

Kolmnurgal on kolm nurka ABC, ACB ja BAC, kolm lõiku AB, BC, AC.

Küljed AB ja BC on nurga ABC lähisküljed, mis asuvad antud nurga haaradel. Nurga ABC vastaskülg on külg AC.

Nurgad BAC ja ABC on külje AB lähisnurgad, külje AB vastasnurk on ACB.

Nurka ABC võime lühidalt kirjutada ka nii: 114.

Kolmnurga külgi ja nurki nimetatakse kolmnurga elementideks.

 

Kolmnurga ümbermõõt

Kolmnurga ümbermõõt on kolmnurga külgede pikkuste summa.

P = a + b + c

Ümbermõõt = 1. külje pikkus + 2. külje pikkus + 3. külje pikkus.

 

Kolmnurga alus ja kõrgus

Kolmnurga tipust vastasküljele või selle pikendusele (nürinurkse kolmnurga puhul) tõmmatud ristlõiku (ja selle pikkust) nimetatakse kolmnurga kõrguseks. Tähistame tavaliselt tähega h.

Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille vastastipust kõrgus tõmmatakse. Tähistame tähega a.

Joonistel on tõmmatud kõrguseid erinevatele kolmnurkadele. Kolmnurga kõrguse võib joonestada igale kolmnurga küljele, seega võib aluseks olla iga kolmnurga külg.

115

Kolmnurga pindala

Kolmnurga pindala on võrdne aluse ja kõrguse poole korrutisega.

116

117 ehk tähtedega valem:  118

Vaata näiteid kolmnurga pindala arvutamisest erinevatele külgedele joonestatud kõrguste abil:

Täisnurkse kolmnurga pindala saab arvutada ka nii:

Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poole korrutisega.

119

120ehk tähtedega valem: 121

 

Kordavad testid:

TESTID:

 

Kolmnurga nurkade summa

122

Iga kolmnurga nurkade summa on 180°.

123

Näide: Leia kolmnurga kolmas külg, kui kolmnurga kaks külge on 60° ja 80°.

Lahendus: 180° – (60° + 80°) = 180° – 140° = 40°

Vastus: kolmnurga kolmas külg on 40°.

Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi:

youtube_video

Video kolmnurga nurkade summast:

youtube_video

 

Kolmnurkade võrdsuse tunnused

Kaht kolmnurka nimetatakse võrdseks, kui nad sobival viisil üksteise peale paigutatult ühtivad.

124

Sellised kolmnurgad on kujult ja suuruselt ühesugused.

Võrdsuse tunnus kolme külje järgi:

Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis need kolmnurgad on võrdsed (tunnus KKK, loe: külg-külg-külg).

Võrdsuse tunnus kahe külje ja nendevahelise nurga järgi:

Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed ( tunnus KNK, loe: külg-nurk-külg).

Võrdsuse tunnus ühe külje ja selle lähisnurkade järgi:

Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed (tunnus NKN, loe: nurk-külg-nurk).

 

Võrdhaarne kolmnurk

Võrdhaarne on kolmnurk, millel kaks külge on võrdse pikkusega.

125

Neid võrdse pikkusega külgi nimetatakse haaradeks ja kolmandat külge kolmnurga aluseks. Aluse lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka nimetatakse tipunurgaks. Mõlemad alusnurgad on võrdsed.

126

Võrdhaarse kolmnurga omadused:

  • Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed.
  • Võrdhaarse kolmnurga tipunurga poolitaja poolitab aluse ja on alusega risti.

Võrdhaarse kolmnurga tipunurga poolitaja on ühtlasi kolmnurga sümmeetria- ehk peegeldusteljeks.

Need omadused on ka võrdkülgsel kolmnurgal. Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on võrdsed ja seega 60°.

 

Võrdkülgne kolmnurk

Võrdhaarse kolmnurga eriliik on võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed.

Võrdkülgne kolmnurk on ühtlasi võrdhaarne. Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on võrdsed 60°.

127

Võrdkülgse kolmnurga omadused:

  • Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on võrdsed ja võrduvad 60°.
  • Võrdkülgse kolmnurga nurkade poolitajad poolitavad aluse ja on alusega risti.

Lahenda ülesandeid kolmnurkade omaduste kohta:

Kolmnurk (kuni liigitamiseni). Keskristsirge, nurga poolitaja